Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р(А*В) = Р(А) * Р(В/А) (4.42)

или

Р(А*В) = Р(В) * Р(А/В) (4.43).

Для независимых событий А и В:

Р(А*В) = Р(А) * Р(В) (4.44).

Формула полной вероятности; формула Байеса. Предположим, что случайные события , , …. образуют полную группу попарно несовместных событий. Тогда для всякого случайного события А:

(4.45).

Это – так называемая формула полной вероятности. Формула Байеса:

(4.46).

Формула Байеса позволяет выразить условные вероятности рассматриваемых гипотез при условии, что произошло событие А.

Пример. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй 8 белых и 4 черных шара, в третьей 2 белых и 13 черных шаров. Из этих урн наугад выбирается одна урна и из нее наугад извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется белым?

Решение. Обозначим буквой А событие, что из выбранной урны извлечен белый шар. Обозначим через , , гипотезы, что из данных трех урн выбрана соответственно первая, вторая и третья урны. Эти гипотезы образуют полную группу попарно несовместных событий:

.

Заметим, что , , . Тогда по формуле полной вероятности:

.

4.3.2. Элементы комбинаторики.

Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения. Число размещений из n элементов по m в каждом обозначается символом и вычисляется по формуле:

(4.46).

Число размещений с повторениями равно:

(4.47).

Перестановками из n элементов называются такие соединения, из которых каждое содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов. Число перестановок обозначается символом :

(4.48).

Если же существует n элементов: a, b, …, d, среди которых элемент а повторяется раз, элемент b повторяется раз и т. д. и , то число перестановок с повторениями выражается при помощи формулы:

Р (с повторен.) = (4.49).

Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединениями, из которых каждое содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга, по крайней мере, одним элементом. Например, из трех элементов а, в, с можно составить только одно сочетание по три элемента: авс.

Число сочетаний из n элементов по m в каждом вычисляется так:

(4.50).

Формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:

(с повтор.) = (4.51).

Формула Бернулли. Когда рассматривается последовательность независимых испытаний, каждое из которых завершается наступлением (успех) или ненаступлением (неудача) случайного события А и Р(А) = p, а Р( ) = 1- p = q, то вероятность того, что в n таких испытаниях произойдет ровно m успехов (событие А произойдет ровно m раз) вычисляется по формуле Бернулли:

(4.52).

Пример: монета бросается 3 раза. Какова вероятность, что все три раза выпадет орел?

Решение: Так как в каждом случае выпадение орла – независимое событие, то искомая вероятность Р(А*А*А) = Р(А)*Р(А)*Р(А). Следовательно, Р(А*А*А) = (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/ 8.

Пример: Монета бросается 2 раза. Какова вероятность того, что решка выпадет только 1 раз?

Решение: Благоприятные варианты: а) 1 ; 0 б) 0; 1. Вероятность события (а) равна ½* ½ = ¼. Вероятность события (б) ½* ½ = ¼. Общая вероятность того, что решка выпадет только 1 раз, равна сумме этих вероятностей как независимых друг от друга событий, т.е. ½.

Пример: Монета бросается 5 раз. Первые 4 раза выпала решка. Какова вероятность того, что на пятый раз выпадет тоже решка?

Решение: Так как выпадение любой стороны монеты – независимое событие, то вероятность выпадения и на пятый раз решки равна 0.5.

Пример: Независимо бросаются 2 монеты. Какова вероятность того, что среди них найдутся монеты, упавшие орлом, и монеты, упавшие решкой?

Решение: все возможные варианты: а) 1; 0 б) 0; 1; в) 1; 1 г) 0; 0. Благоприятных два варианта, поэтому искомая вероятность равна 2/4 = ½.

Пример: Имеется 10 разных облигаций. Инвестор хотел бы построить портфель из 2-х облигаций, включив каждую из них по одной штуке. Сколько вариантов портфелей может сформировать инвестор?

Решение: .

Пример: Какова вероятность того, что при бросании десяти монет выпадет семь гербов и три решки?

Решение: Здесь речь идет о десяти испытаниях Бернулли с вероятностью успеха (выпадение герба 7 раз) Р = и выпадения решки Р = (3 раза). Следовательно, по формуле Бернулли: