Математические модели движения крови в системе сосудов с упругими стенками

Рассмотрим осесимметричное движение крови, которая принимается вязкой несжимаемой жидкостью, в круглом сосуде постоянного радиуса R. Движение происходит в цилиндрической системе координат (x, r, θ), причем ось x совпадает с осью симметрии потока. Материал стенки считаем идеально упругим, изотропным.

Основная система уравнений динамики кровотока в гибких цилиндрических сосудах в таком случае будет иметь вид:

 , (1)

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

, (6)

, (7)

,  ,

где p – давление; ρ – плотность крови; μ – вязкость крови; v_x – осевая компонента скорости крови; v_r – радиальная компонента скорости крови; R – радиус сосуда; t – время; u, w – перемещения стенки в продольном и поперечном направлениях; Sʹ, Tʹ – силы натяжения в окружном и продольном направлениях соответственно; S₀, T₀ – начальные значения сил натяжения в окружном и продольном направлениях; E – модуль Юнга стенки; ν – коэффициент Пуассона; h – толщина стенки сосуда; ρ₀ – массовая плотность материала стенки сосуда.

На стенке записываем условия кинематического контакта стенки сосуда с жидкостью:

 (8)

В случае моделирования гемодинамики крупных кровеносных сосудов в большинстве современных работ кровь полагается ньютоновской жидкостью. При этом показано, что разница значений (в случае крупных кровеносных сосудов), которые получаются для ньютоновской и неньютоновской жидкостей, не превышает 10%.

Уравнения (4)-(7) позволяют учесть податливость сосудистой стенки, а контактные условия (8) позволяют учесть взаимодействие стенки с потоком.

Такой подход к моделированию гемодинамики широко известен, однако основная система уравнений в этом случае не позволяет учесть конвективную составляющую ускорения частиц жидкости, а это, в свою очередь, для сосудистого русла с несколькими узлами бифуркации может оказать существенное влияние на результаты расчетов.

Основная система уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости в кровеносных сосудах с гибкими стенками в трехмерной постановке может быть записана в виде уравнений для направленных потоков.

Будем, как и раньше, полагать, что задача осесимметрична, а кровь является ньютоновской жидкостью.

Для направленных потоков жидкости в тонких трубках с упругими стенками на основе известного способа линеаризации возможен учет конвективного ускорения частиц жидкости в рамках линейной теории. В случае осесимметричных направленных потоков уравнения Навье-Стокса имеют следующий вид:

 (9)

Здесь v₀ – основная скорость направленного потока, вокруг которой происходит малая пульсация составляющих скоростей: v_x = v₀ + vʹ; vr = vʹ.

Динамические уравнения осесимметричных колебаний предварительно натянутой круглой цилиндрической оболочки записываются в виде:

 (10)

где  .

Условия «прилипания» частиц жидкости к стенкам сосуда заменим условием стесненного их скольжения по поверхности контакта:

 (11)

λ – коэффициент вязкого трения материала оболочки и жидкости.

Рассмотрим систему уравнений (9), (10) с контактными условиями (11). Умножим уравнение (1) на r и продифференцируем по x. Далее второе уравнение системы также умножим на r и продифференцируем по r, после чего сложим левые и правые части полученных уравнений. В результате получим уравнение для давления:

. (12)

Запишем преобразованную систему уравнений:

  (13)

Для дальнейшего упрощения предложенной системы уравнений в трехмерной постановке можно вместо уравнений Навье-Стокса (9) использовать уравнения Эйлера для описания движения направленного потока идеальной несжимаемой жидкости, полагая при этом, что вязкое стесненное трение жидкости о стенку сосуда будет происходить в бесконечно тонком слое (погранслой) на контактной поверхности.

 (14)

Вязкие свойства жидкости в погранслое будут описываться упрощенным одномерным уравнением, записанным на основании первого уравнения Навье-Стокса:

. (15)

При этом на границе погранслоя функция давления может испытывать конечный скачок. Касательные напряжения на стенке будут иметь вид:

 (16)

Тогда уравнения движения оболочки примут вид:

 (17)

В качестве контактных условий для идеальной жидкости можно взять условия непроницаемости стенки и условия прилипания частиц жидкости вдоль стенки:

. (18)

Из системы уравнений (14)-(17) путем простых преобразований может быть получено уравнение для давления в виде (12).

Запишем преобразованную систему уравнений:

 (19)

Система (19) с контактными условиями (18) представляет собой упрощенный вариант системы уравнений динамики кровотока в сосудах с упругими стенками, так как уравнения Навье-Стокса здесь заменяются уравнениями Эйлера для идеальной жидкости, которые имеют более простой вид.

Решение основной системы уравнений для случая пульсирующего кровотока как для системы (9)-(10), так и для системы (19) можно искать в виде простых гармонических волн:

, (20)

, (21)

где ω – частота пульсации кровотока, χ – волновое число.

Подставляя выражения (21) в уравнения движения жидкости основной системы, получим базовые решения для амплитуд компонент скорости и давления. В этом случае сумма базовых решений для каждой волновой гармоники   даст общее решение основной системы.

Неизвестные константы необходимо определять из контактных условий, уравнений движения стенки, а также из граничных условий на входе и выходах из сосудистой системы. Это напрямую связано с решением дисперсионных уравнений, возникающих при подстановке выражений (20) в основную систему.

Были получены начальные точки (рис. 1 и 2) дисперсионных кривых для дисперсионного уравнения, полученного при решении системы (1)-(7). На рисунках значения по осям а и b – это действительная и мнимая части волнового числа.

Используя полученные точки в качестве начальных приближений для построения решения дисперсионного уравнения, можно построить необходимые дисперсионные кривые, что позволит завершить решение полной краевой задачи с учетом краевых и контактных условий и найти необходимое число констант интегрирования.

Рис. 1. Начальные точки дисперсионных кривых в случае малой вязкости

Рис. 2. Начальные точки дисперсионных кривых в случае большой вязкости

Такой алгоритм поиска общего решения системы (1)-(7) вполне подходит для решения систем (9)-(10) и (19). Таким образом, предложенные математические модели могут использоваться для исследования кровотока в системе кровеносных сосудов.

Регуляционная модель сердечно сосудистой системы

Современные методы исследования сердечно-сосудистой системы (ССС) базируются на использовании традиционных моделей механизма кровообращения, недостатком которых является отсутствие учета, регуляции кровотока. Поэтому предложена модифицированная модель ССС, основанная на методике, учитывающая следую­щие процессы регуляции: саморегуляцию левого и правого желудочков сердца, саморегуляцию транспорта жидкости, кислорода и углекислоты через стенки, саморегуляцию потока крови через сосуды, перераспределение кровотока по сосудистому руслу в соответствии с функциональными нагрузками тканей и органов, и непосредственное воздействие центральной нервной системы.

Математическая модель ССС базируется на системе уравнений:

  где 

 

где е - жесткость, U - расправляющий объем, ρ - проводимость, q – кровоток, Р - давле­ние, V - объем, i, j – номера ре­зервуаров сердечно-сосудистой системы, r – некоторая подсистема ССС, включающая один (r=i) или несколько (r={i, ν, …,m) элементарных участков, C_rо – вектора управляемых параметров r-й подсистемы нулевого уровня субординации, z – возмущение, X_r0 – управляющее воздействие нулевого уровня субординации, X_r1 определяется: значениями функций W_rо, гдеW_i'= {q_ji, P_i, V_i, f_i(P_i V_i, q_ji)} (f - обозначение функции), параметрами системы саморегуляции C_ri(X_r2) и задающими воздействиями W^*_ri'(X_r2) от второго уровнясубордина­ции; n-й уровень – некоторый уровень управления (генерирующий X_Rn, n=1, …,m), выполняющий задающие воздействия n +1-го уровня [W*_rn (X_r, n+1,C_rn(X_r, n+1))] и контролировать функции n-1-го уровня (X_r,n-1); (X_r,n+1) – высшие вегетативные центры, (X_rn) - функциональная ак­тивность управления, (X_r,n-1) – функция управляемой под­системы.

Структура модели сердечно-сосудистой системы, учитывающая регуляторные процессы, имеет вид:

Рисунок 1 - Блок-схема модели регуляции сердечно­-сосудистой системы

МКК - малый и БКК - большой круг кровообращения; ССЦ - сердечно-сосудистый центр; ВВЦ – высшие вегетативные центры, СР - спинальная регуляция, СС – системы само­регуляции, AT – артерии туловища, ТТ – капилляры и ВТ - вены нижней части тела и ног, АГ - артерии, ТГ – капилляры и ВГ - вены головы и рук; ПЖ - правый желудочек; ПП - правое пред­сердие; ЛА – легочная артерия; ЛК - легочные ка­пилляры; ЛВ - легочная вена; ЛП - левое пред­сердие, ЛЖ – левый желудочек; кроме того, мо­дель отображает дугу аорты (А).

 Использование модели по­зволяет учитывать основной патологический процесс, сопутствующие ему, в том числе, осложнения, компенсаторные, защит­ные и гомеостатаческие реакции организма, а также составляющие, вносимые лечением, что необходимо для выбора аде­кватной терапии.

Практическая часть:

Ответьте на вопросы по теории:

1. Назовите и охарактеризуйте основные факторы регуляции сердца.

2. Назовите и охарактеризуйте основные факторы регуляции сосудов.

3. Опишите основные принципы построения модели движения крови в сосудах с упругими стенками.

4. Каким образом находятся неизвестные константы интегрирования в случае построения модели движения крови в сосудах с упругими стенками?

5. На чем базируются современные методы исследования сердечно-сосудистой системы? Чем это обусловлено?

6. Рассмотрите и постарайтесь объяснить блок-схему модели регуляции сердечно­-сосудистой системы. Для чего она может быть использована?

Разделившись на группы, подготовьте рефераты на следующие темы:

1. Саморегуляция функций сердечно-сосудистой системы.

2. Построение математической модели саморегуляции сердечно-сосудистой системы.

Список используемой литературы:

1. Шумаков В.И., Новосельцев В.И., Сахаров М.П., Штенгольд Е.Ш. Моделирование физиологических систем организма. - М.:Медицина,1971г. – 352с.

2. Лищук В.А., Газизова Д.Ш., Сазыкина Л.В., Бокерия Л.А. Аппаратная реализация математической модели регуляции для кардиологии. - М.: Электроника и связь. Тематический выпуск «Проблемы электроники»,ч. 2, 2008г.

3. Газизова Д.Ш. Оперативный анализ расстройств сердечно-сосудистой системы с помощью мониторно-компьютерных средств: Дис. ... докт. мед. наук: 14.00.06. М., 1998.-250 с. 

4. Лищук В.А, Сазыкина Л.В. Математические мо­дели сердечно-сосудистой системы / /Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. Бионика. Биокибернети­ка. Биоинженерия. 1990. -Т. 7.-140 с.

5. Wagner R. Feedback principle in regulation of the circulation//Circulat. Res.- 1957. - Vol. 5, N 5. - P. 469-471.