7.1.3. Различные виды взаимосвязи природных процессов
Стохастическая связь между двумя процессами появляется обычно тогда, когда наряду с другими имеются общие факторы, влияющие как на первый, так и на второй процесс.
Q1 (t) Q2 (t) Qn (t)
Рис. 7.4. Схема взаимосвязи стока системы речных бассейнов.
Причинно следственные связи и связи сопряженности
7.2. Регрессионная математическая модель взаимосвязи двух переменных величин (парная корреляция)
Для исследования взаимосвязи двух природных процессов или явлений чаще всего используется математическая модель в виде уравнения регрессии. При этом решаются две задачи:
выявление на основе большого количества наблюдений характера изменений Y в зависимости от изменения X. Эта задача кратко формулируется как задача определения формы и нахождения уравнения связи двух переменных величин;
определение степени взаимосвязи исследуемых явлений (если это связи сопряженности) или степени влияния главных учитываемых факторов на исследуемое влияние (если эти связи носят причинно-следственный характер).
7.2.1. Линейное уравнение регрессии двух переменных величин
Y= aX+b, (7.4)
Для определения прямой линии в поле точек (линии связи) в данном случае используется метод оптимизации, основанный на принципе наименьших квадратов. В качестве критерия качества используется средний квадрат отклонения фактических значений от линии связи (см. формулу (2.54).
Полученное в результате оптимизации уравнение, выражающее связь между значениями аргумента и функции, называется уравнением линии регрессии:
(X)=
аX+b
(7.5)
В отличие от уравнения (7.4) в этом уравнении Y(X) одно из возможных значений Y при заданном значении X, а a и b значения параметров, определенные на основе принципа наименьших квадратов. Следует отметить, что при выборе другого критерия качества значения параметров могли бы быть другими.
Действительное значение Y будет равно значению, полученному по уравнению (7.5), плюс возможное отклонение от линии связи – Δ, где Δ по сути – погрешность расчетов по уравнению регрессии,
Y(X)
=
(X)+Δ=
аX+b+Δ
(7.6)
.
Для расчетов Y по уравнению (7.5) необходимо определить параметры a и b.
Пусть
имеются последовательности значений
X
и
Y,
соответственно
xi
(i
=
1, 2, . .., N)
и
yi
(i
= 1, 2,
.. ., N).
Представим
себе, что параметры а
и
b
известны.
Тогда, последовательно подставляя в
уравнение регрессии значения
X,
можем
получить для каждого значения X
рассчитанное
значение
Y
-
(xi)
.
Это
значение, естественно, не всегда и чаще
всего не совпадает
с фактическим значением,
так
как связь Y
= f(x)
не
является
функциональной.
Как следует из формулы (7.6) разность фактических и рассчитанных по уравнению (7.5) значений Δ определяется по формуле
Δi
= yi
—
(xi
)=
yi
— axi
— b.
(7.7)
Дальше, исходя из принципа наименьших квадратов, находим такие значения параметров a и b, при которых среднее значение квадратов разностей So является минимальным, то есть
(7.8)
Для
отыскания минимума функций So2
по
параметрам а
и
b
определяются
частные производные по каждому из
параметров и приравниваются
нулю. При этом предполагается, что
функции
=f(a)
и
=
f(b)
имеют
один экстремум, являющийся минимумом
значений
.
Исходя
из этого для определения параметра b
получаем
следующее
выражение:
.
(7.9)
Отсюда
и
(7.10)
Найдем теперь выражение для параметра a. Для этого подставим найденное выражение b в формулу (7.8), обозначим отклонения значений y и x от математического ожидания через δy и δx, и продифференцируем его
по параметру а,
(7.11)
Отсюда
и
(7.12)
Подставим найденные значения а и b (формулы 7.10 и 7.12) в уравнение регрессии (7.5), тогда
(7.13)
В рассмотренном выводе ряд X играл роль аргумента, ряд Y — роль функции. Однако возможны и такие случаи, когда X выступает в качестве функции, a Y — аргумента, т. е.
(7.14)
Повторяя предыдущий вывод, для этого уравнения получаем
(7.15)
(7.16)
и уравнение регрессии x = f(y) имеет вид
(7.17)
Таким образом, для определения формы связи процессов Y и X нами получены два уравнения : (7.13), описывающее линию регрессии Y по X, и (7.17), описывющее линию регрессии X по Y.