7.3.3. Сводные параметры множественной линейной корреляции

Дисперсия ряда Y может быть вычислена по формуле

где ­­­­– погрешность расчетов по уравнению регрессии.

Отсюда, учитывая независимость и , получаем

(7.65)

т. е. дисперсия исходного ряда D_y равна сумме дисперсий ряда значений, рассчитанных по уравнению регрессии, и ряда погреш­ностей этих расчетов.

Для оценки точности вычислений по уравнению регрессии, или оценки определенности значений ряда у, по отношению к множеству рядов x_j (j=1, 2, ..., т) наряду с коэффициентом корреляции R₀ широко используется отношение

(7.66)

называемое дисперсионным отношением или критерием случайно­сти. При δ = 1, D_Δ = D_y и, следовательно [см. формулу (7.65)], 0, т. е. значения у не зависят от x_j. При δ=0, D_Δ = 0 и D_y = , т. е. связь является функциональной. Таким образом, 0≤δ≤1.

Установим теперь взаимосвязь критерия случайности δ со сводным коэффициентом корреляции R₀. Для этого подставим в формулу (7.66) значение D_Δ по формуле, ана­логичной (7.37), получаем

Отсюда

(7.67)

Следует отметить, что условие (7.67) выполняется только для линейных связей.

Нередко, особенно в последние годы, для характеристики эффективности расчетов по уравнению регрессии используется коэффициент детерминации

F = 1- δ^{2 =} / D_{y =} R₀ ² (7.68)

Для расчетов R₀ по формулам (7.47) и (7.67) предварительно требуется определить a_j и . что не всегда удобно. Поэтому обычно используется другая формула R₀, параметры которой определяются непосредственно по матрицам значений r_0j и r_hj.

(7.69)

где D₀₀—определитель матрицы (7.61), D₀ - расширенный определитель системы (7.57), получаемый путем приписывания сверху и слева соответственно вектор строки и вектор столбца из коэффициентов корреляции r_0j (j = 0, 1, 2, … ,m) к определителю D_oo

(7.70)

Можно показать также [2], что

Эта формула замечательна тем, что она позволяет не только вычислять R₀ по известным a_j и r_0j, но и оценивать доли (проценты) вклада каждого из аргументов x_j в уравнение регрессии.

7.3.4. Частный коэффициент корреляции

При исследовании связи двух случайных величин Y и X коэффициент корреляции между ними может быть использован в качестве меры взаимозависимости. Однако при исследовании связей более чем двух случайных величин интерпретация коэффициента корреляции r в качестве меры физической взаимозависимости Y и X_j далеко не всегда достаточно обоснована. В этом случае, вследствие особенностей используемого математического аппарата, вполне возможно, что корреляция между Y и X_j наводится влиянием какой-то третьей переменной или группы переменных. Ука­занное обстоятельство приводит к необходимости исследования условных корреляций между двумя величинами при фиксированных значениях других величин. Коэффициент корреляции таких связей называется частным коэффициентом корреляции.

Если коэффициент корреляции Y и X_j уменьшается, когда фиксируется некоторая другая случайная величина или группа случайных величин, то это означает, что их взаимозависимость возникает частично, через воздействие этих величин; если же корреляция очень мала или вообще равна нулю, то, по-видимому, взаимозависимость Y и X_j целиком обусловлена этим воздействием. Наоборот, когда частная корреляция больше r_0j, то, вероятно, другие величины ослабляли связь, т. е. «маскировали» корреляцию [18].

Частный коэффициент корреляции ряда Y и X₁ обычно обозначается r₀₁.₂₃… _т, где первые две цифры — номера непосредственно исследуемых случайных величин, следующие после точки цифры означают номера фиксированных случайных величин. В этих обозначениях для расчета частного коэффициента корреляции исполь­зуется формула

(7.71)

где A_jh — алгебраическое дополнение для r_jh в расширенном опре­делителе (7.69).

Например, если Y = f(x₁, x₂), то частный коэффициент корреля­ции Y и x₁ будет определяться по формуле

(7.72)

Следует отметить, что пока понятие частного коэффициента корреляции редко используется в исследованиях. Возможно, это вызвано тем, что оценка частного коэффициента корреляции менее точна, чем оценка любого парного коэффициента корреляции.