7.2.4 Анализ погрешностей расчетов по уравнению регрессии

Расчетные формулы

В результате расчетов по уравнениям регрессии (7.22) на основе принципа наименьших квадратов получают оценки Y – (x). Фактические зна -

чения Y ^– могут отличаться от этих оценок, причем тем больше, чем меньше теснота связи между Y и X и объем сопоставляемых выборок п. Таким образом, оценка Y по X всегда сопровождается погрешностями , во-первых, за счет аппроксима­ции стохастической связи прямой линией, отображающей зависимость У от X; во-вторых, за счет выборочности исходных данных, вследствие чего в уравнениях регрессии (7.6) вместо действительных (генеральных) значений коэффициентов а и b используются их оценки и . Общая погрешность расчетов Y по уравнению регрессии в этом случае может быть охарактеризована дисперсией

(7.35)

где — дисперсия погрешности определения Y ; — дисперсия погрешности аппроксимации стохастической связи прямой линией, характеризующая разброс точек связи относительно линии регрессии; — средняя квадратическая погрешность определения при данном х, характеризующая погрешность проведения линии регрессии .

Предположим, что по рядам бесконечной продолжительности нами получены фактические значения параметров уравнения ре­грессии. Тогда средняя квадратическая погрешность расчетов у по х определяется по формуле (7.8). Подставим в эту формулу значение , определенное по формуле (7.22):

(7.36)

Отсюда, после возведения в квадрат, получим

=

и, раскрывая квадратные скобки,

Дальше, учитывая формулы σ_y и σ_x, получаем:

Таким образом, погрешность расчетов по уравнению регрессии за счет разброса точек относительно линии связи может быть определена по формуле:

(7.37)

Рассмотрим теперь погрешность определения в формуле (7.35). Подставляя в формулу (7.6) значение b по формуле (7.10), получаем.

(7.38)

Здесь мы имеем линейную комбинацию и . Поскольку последние не коррелированы, дисперсия (х) равна сумме дисперсий и , т. е.

(7.39)

где t — нормированное значение х.

Учитывая (7.35) и (7.39), получаем

(7.40)

Теперь построим доверительные интервалы у(х) и . Очевидно, что если исходить из предположения о нормальном законе распределения Y и X, то доверительный интервал значений может быть рассчитан по формуле

(7.41)

или

(7.42)

Доверительный интервал значений y(x) может быть анало­гично выражениям (7.41) и (7.42) построен по формуле

(7.43)

Заметим, что из формул (7.42) и (7.43) следует, что довери­тельный интервал и у(х) растет вместе с увеличением откло­нения х от , т. е. оценка этих величин с удалением х от становится менее точной.