7.3.2. Уравнение множественной линейной корреляции

Имеются выборки наблюдений, каждая объемом в N членов, над исследуемым явлением (ряд Y) и над т его предикторами (ряды X₁, X₂, .. ., X_т). Обозначим порядковое значение членов каждого из рядов через i, а номер ряда X через j ( ).

Идентификация структуры и параметров уравнения множественной линейной корреляции, как и раньше уравнения парной корреляции, будет производиться исходя из принципа наименьших квадратов, основанном на том, что при нормальном законе распределения оценка коэффициентов уравнений a_j считается наилучшей, если средний квадрат разности между фактическими и расчетными значениями [см. формулу (7.8)] является наименьшим.

Подставим в формулу (7.8) значение y полученное по формуле (7.48). Тогда

(7.49)

или

(7.50

где

Для определения значений а_j, при которых S₀² будет минимальным, достаточно взять частные производные S₀² по а_j и приравнять их к нулю.

Определим, например, коэффициент а_j для какого-то j = h

(7.51)

Отсюда

(7.52)

Из формул (7.45), (7.46) следует, что

(7.53)

(7.54)

Подставив эти значения в формулу (7.52), получим

(7.55)

Значения hиj могут изменяться от 1 до т. Отсюда, расписав формулу (7.55) по всем значениям h и j, получим систему урав­нений относительно коэффициентов веса a₁, a₂, ..., а_т

(7.56)

Учитывая, что r_jj=1, приводим эту систему к нормальному виду

(7.57)

где

(7.58)

Поскольку имеется т уравнений и т неизвестных, то система имеет однозначное решение относительно коэффициентов β. Это решение может быть получено различными путями. В частности, могут быть использованы точные методы: метод Гаусса или Крамера, и приближенные: метод итерации, или, иначе, метод после­довательных приближений, и как его развитие — метод Зейделя [ ].

Расчет системы уравнений (7.57) методом Крамера в конечном итоге сводится к расчету отношения определителей

(7.59)

Отсюда с учетом выражения (7.58)

, (7.60)

где D₀₀ — главный определитель системы уравнений (7.57):

(7.61)

D_0j — определитель, получаемый заменой j-го столбца или j-й строки вектором свободных членов (r₀₁, r02, …, r_0m):

(7.62)

Подставляя выражение коэффициентов a_j в уравнение регрес­сии (7.48), получаем

(7.63)

Определенное таким образом уравнение дает, согласно нашему выводу, наилучшее по принципу наименьших квадратов линейное представление наблюденных значений Y в зависимости от X.

Для решения системы уравнений типа (7.57) на ЭВМ исполь­зуются имеющиеся стандартные программы.