3.2. Нелинейная модель. Линеаризация

Построим нелинейную регрессионную модель в виде

.

Тип нелинейной зависимости определяется формой диаграммы рассеяния, содержанием и теоретической моделью соответствующего экономического процесса. Иногда приходится применять различные нелинейные модели, а затем выбирать из них лучшую.

1. Предложенная модель становится линейной после логарифмирования:

.

Обозначая: , получим

.

Преобразуем таблицу исходных данных и, опираясь на результаты вычислений в табл.6, вычислим оценки

.

Уравнение прогнозных значений имеет вид

.

В уравнении в скобках показаны стандартные отклонения оценок параметров.

Прогнозирование в нелинейной модели может осуществляться по формуле

или с помощью экспоненты

.

Таблица 6
t					ХtYt
1	3,434	4,159	11,792	17,296	14,282	4,023	55,878	65,961
2	4,317	4,605	18,641	21,208	19,883	4,601	99,546	0,206
3	4,489	4,635	20,148	21,481	20,804	4,712	111,328	69,347
4	3,258	3,912	10,615	15,304	12,746	3,908	49,810	0,036
5	3,555	4,143	12,640	17,166	14,730	4,102	60,491	6,294
6	4,290	4,554	18,408	20,738	19,538	4,583	97,803	7,855
7	4,511	4,691	20,348	22,009	21,162	4,727	112,956	15,652
8	3,045	3,761	9,269	14,147	11,451	3,769	43,321	0,103
9	4,025	4,533	16,203	20,544	18,245	4,410	82,243	115,706
10	3,045	3,611	9,269	13,039	10,994	3,769	43,321	39,951
Σ	38	42,604	147,334	182,930	163,834	42,604	756,697	321,112
Σ/n	3,797	4,260	14,733	18,293	16,383	4,260	75,670

2. Вычислим коэффициент детерминации

,

где .

Дисперсионное отношение

.

Найденное значение F>> F_α=10,128, что указывает на сильное влияние фактора на результат в логарифмической модели.

Чтобы сравнить по качеству нелинейную и линейную модель, вычислим сумму квадратов отклонений нелинейного прогноза от наблюдений

321,112,

и определим отношение, которое называют псевдодетерминацией:

.

Сравнивая значение 0,952 с коэффициентом детерминации линейной модели 0,934, делаем вывод о том, что нелинейная модель лучше согласуется с данными наблюдений.

3. Как и в предыдущем задании, считаем, что планируется расширение предприятия, при этом среднее количество покупателей должно вырасти на 20% и составит чел. Прогноз средней выручки в нелинейной модели

.

Определим, насколько точным является данный прогноз. Для этого построим 95% доверительный интервал для логарифма прогнозируемой выручки:

где - стандартное отклонение е₁₁;

Х₁₁=ln x₁₁=ln 67=4,205; .

Для прогнозируемой выручки в рамках нелинейной модели доверительный интервал имеет вид

4. Для степенной нелинейной модели эластичность в произвольной точке определяется по формуле

Найденная величина означает, что при увеличении среднего числа покупателей на 1% выручка возрастает в среднем на 0,654%.

5.

Рис.2. Диаграмма рассеяния наблюдений (точки), нелинейный тренд (сплошная линия).