3.4. Системы регрессионных уравнений

Задана структурная система эконометрических уравнений:

В табл.11 приведены данные наблюдений эндогенных y_ti и экзогенных х_ti переменных модели:

Таблица 11
t	yt1	yt2	yt3	xt1	xt2	xt3
1	19	23	13	5	5	4
2	15	31	15	7	8	3
3	22	13	17	4	8	2
4	6	32	9	6	2	5
5	8	66	16	12	2	9

Необходимо, опираясь на данные наблюдений, оценить параметры структурной системы.

Определим, являются ли уравнения системы идентифицируемыми. Для этого приме­ним необходимое условие идентификации или счетное правило:

D+1=H – уравнение идентифицируемо;

D+1<H – уравнение неидентифицируемо;

D+1>H – уравнение сверхидентифицируемо.

Здесь - Н – число эндогенных переменных в уравнении; D – число отсутствующих экзогенных и лаговых переменных в уравнении. В приведенной системе лаговые или запаздывающие переменные отсутствуют.

В первом уравнении эндогенных переменных две: y_t1, y_t2, следовательно, H=2. Всего у нас три экзогенных переменных, из них в первом уравнении отсутствует одна х_t3. Поэтому D=1. Для первого уравнения выполняется D+1=H=2. Первое уравнение идентифицируемо. Аналогично определяем, что для второго уравнения выполняется D+1=H=3. Для третьего уравнения находим, что D+1=4>H=2. Третье уравнение сверхидентифицируемо.

Прямая оценка параметров структурной системы уравнений недопустима. Из-за корреляции регрессоров с остатками получаются смещенные оценки. Для оценки параметров используют косвенный МНК (в случае идентификации) или двухшаговый МНК (в случае идентификации и сверхидентификации). Оба метода требуют оценки параметров приведенной формы модели:

Опираясь на данные наблюдений, выполняем регрессию y_t1 на х_t1, х_t2, х_t3. Получаем уравнение прогноза

В скобках приводятся стандартные ошибки оценок параметров.

Затем выполняем регрессию y_t2 на х_t1, х_t2, х_t3

и y_t3 на х_t1, х_t2, х_t3

Приведенная система эконометрических уравнений имеет вид

Параметры первого уравнения структурной системы можно идентифицировать методом, который называется косвенный МНК. Для этого второе уравнение приведенной системы решается относительно х_t3:

Затем найденное значение подставляется в первое уравнение:

Для идентификации второго уравнения структурной системы решаем первое и третье уравнения приведенной системы относительно х_t1 и х_t2 и подставляем найденные значения во второе уравнение:

Третье уравнение структурной системы сверхидентифицируемо. Для идентификации его параметров необходимо применить двухшаговый МНК. На первом шаге определяем значения инструментальной переменной

.

Значения рассчитываются в табл.12.

Таблица 12
t	yt3	xt1	xt2	xt3
1	13	5	5	4	18,579
2	15	7	8	3	14,789
3	17	4	8	2	22,421
4	9	6	2	5	6,105
5	16	12	2	9	8,105

На втором шаге осуществляем регрессию y_t3 на . Получаем уравнение

Идентификация параметров произведена. Структурная система эконометрических уравнений имеет вид: