4. Элементы теории погрешностей

Пусть проведена серия n – испытаний. Получены следующие значения измерений величины:X = X₁, X₂,…X_n. Появление каждого из значений X является случайным событием, т.е. X_i – величина случайная, следовательно, случайными являются и значения абсолютных погрешностей

Поскольку значение X₀ неизвестно, невозможно точно знать и значение X_i.

Однако можно оценить величину погрешности с определенной степенью вероятности. Этот процесс рассматривает теория погрешностей, разработанная в XIX веке немецким математиком Гауссом на основе теории вероятностей.

Результаты измерения X можно охарактеризовать с помощью следующих числовых параметров:

а) Среднее арифметическое , характеризующее истинное значение, т.к. при ,

(1)

б) Среднее квадратическое отклонение , характеризует степень разброса результатов арифметических значений каждой серии измерений вокруг истинного :

(2)

Конечный результат представляется в виде:

где - коэффициент, определяющий величину доверительного интервала (совокупности значений, которые может принимать величина X в процессе измерения) при заданной доверительной вероятности .

Значение коэффициента для разных значений доверительной вероятности и количества измерений приведены в таблице 1 и называются Коэффициентом Стьюдента.

в) Доверительная вероятность - это процент достоверных (оптимально приемлемых) значений исследуемых величин.

Зависимость и s связаны тем, что точность измерения возрастает с увеличением числа испытаний. Следовательно, чем больше число испытаний, тем меньше абсолютная погрешность, определяемая случайными факторами и, следовательно, меньше допускаемый разброс данных.

5. Порядок вычисления погрешностей прямого измерения

Результаты каждого измерения записываются в таблицу.

Вычисляются:

1. Среднее арифметическое серии измерений:

;

2. Абсолютная погрешность отдельных измерений:

3. Квадрат погрешности каждого измерения:

4. Среднее квадратическое отклонение серии измерений:

5. Задается доверительная вероятность .

6. Определяются коэффициенты Стьюдента для известного числа измерений при заданной доверительной вероятности (по табл. 1).

Таблица 1 - Коэффициенты Стьюдента (t )

n	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
2	0,16	0,33	0,51	0,73	1	1,38	6,3	12,7	31,8	63,8	636,6
3	14	29	45	62	0,82	1,06	2,9	4,3	7	9,9	31,6
4	14	28	42	58	77	0,98	2,4	3,2	4,5	5,8	12,9
5	13	27	41	57	74	94	2,1	2,8	3,7	4,6	8,6
6	13	27	41	56	73	92	2	2,6	3,4	4	6,9
7	13	27	40	55	72	90	169	2,4	3,1	3,7	6
8	13	26	40	55	71	90	1,9	2,4	3	3,5	5
9	13	26	40	54	71	90	1,9	2,3	2,9	3,4	5
10	13	26	40	54	70	88	1,9	2,3	2,8	3,3	4,8
11	13	26	40	54	70	88	1,8	2,2	2,8	3,2	4,8
12	13	26	40	54	70	87	1,8	2,2	2,7	3,1	4,5
13	13	26	40	54	70	87	1,6	2,2	2,7	3,1	4,3
14	13	26	39	54	69	87	1,8	2,2	2,7	3	4,2

7. Абсолютная погрешность среднего арифметического:

8. Абсолютная погрешность прибора (если это оговорено в задании):

где К – класс точности,

x - максимальное значение шкалы прибора.

9. Если погрешности и соизмеримы, то в качестве интервала следует брать:

Если же и отличаются на порядок и больше, то в качестве берется наибольшее из них.

При отсутствии указаний о вычислении инструментальной погрешности учитывается лишь случайная погрешность.

10. Вычисляется относительная погрешность:

11. Записывается конечный результат:

или

Покажем, как это делается на примере.

1. Пусть в результате 3-х измерений получены следующие значения напряжения (В):

2) их среднее арифметическое:

3. абсолютные погрешности каждого измерения:

4. квадрат погрешности каждого измерения:

5. средняя квадратичная погрешность:

6. Зададим доверительную вероятность , например, равную 95%. Тогда по таблице 1 находим значение коэффициента Стьюдента при и ;

7. находим погрешность измерения:

8. Запишем окончательный результат:

(В) или

(В)

Все промежуточные результаты заносим в таблицу.

Таблица 2

№				Данные и результат
1	3,06	0,02	=
2	3,08	0	=
3	3,11	0,03	=
n(n-1)	<x>
	3,08	0,07	0,015
				Ɛ=0,02