Задача №5
Решить систему линейных уравнений
методом Крамера;
используя обратную матрицу.
Решение. 1) Решим систему уравнений методом Крамера. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
находится по формулам
,
где
(предполагается,
что Δ ≠ 0),
,
,
.
Для данной системы уравнений имеем
Вспомогательные определители
,
,
Решение системы уравнений
.
2) Решим теперь систему матричным методом. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде
,
где
Решение матричного уравнения имеет вид
,
где
– матрица,
обратная к матрице А.
Заметим, что поскольку определитель
матрицы А
не равен нулю (
,
см. п. 1), то матрица системы невырожденная
и, следовательно, имеет обратную.
Обратная матрица находится по формуле
,
где
Δ – определитель матрицы А,
– алгебраическое дополнение элемента
определителя матрицы А.
Вычислим алгебраические дополнения:
Таким образом,
,
откуда
Следовательно,
,
,
.
Задача №6
Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
а)
;
б)
в)
;
г)
.
Решение. а) .
И числитель, и
знаменатель дроби при
стремятся к бесконечности, т.е. имеем
неопределенность вида
.
Разделив числитель и знаменатель на
,
получим
.
б)
;
И числитель, и
знаменатель дроби при
стремятся к нулю. Имеем неопределенность
вида
.
Умножим числитель и знаменатель на
выражение
.
Получим
.
в)
;
Имеем неопределенность
вида
.
Воспользуемся первым замечательным
пределом
.
Получим
.
г) ;
Имеем неопределенность
вида
.
Воспользуемся вторым замечательным
пределом
.
Введем в рассмотрение
новую переменную
,
при
.
Тогда
.
Переходя к новой переменной, получим
.
Задача №7
Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер точек разрыва, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение.
На промежутке
функция
совпадает с функцией
.
Это элементарная функция. Указанный
промежуток входит в область определения
функции
.
Значит на промежутке
функция
непрерывна, а, следовательно, на этом
промежутке непрерывна и функция
.
Аналогично устанавливается непрерывность
функции
на промежутках (1; 2), (2; 5) и (5; + ∞).
Исследуем функцию
на непрерывность в точках
,
и
.
Функция определена в этих точках:
,
,
.
Вычислим односторонние пределы в этих
точках.
,
.
Таким образом,
.
Следовательно, в точке
функция
непрерывна.
,
.
Так как один из односторонних пределов равен + ∞, то точка является точкой разрыва второго рода.
,
.
В точке односторонние пределы конечны, но не равны между собой. Следовательно, точка является точкой разрыва первого рода.
Сделаем чертеж заданной функции (рис.2).
2
1
0
1 2
3 5
8
-3
Рис. 2