Статистичні методи вивчення залежностей між випадковими величинами.

Мета: Оволодіти методом найменших квадратів для встановлення форми кореляційного зв’язку між двома ознаками, заданими своїми вибірками; навчитися обчислювати коефіцієнт кореляції і на основі його величини робити висновки про силу кореляційного зв’язку між цими ознаками.

В оточуючому нас світі існує загальний взаємозв’язок і взаємо обумовленість явищ, крайніми випадками яких є або повна незалежність випадкових величин, або, навпаки, функціональна залежність між ними, тобто ”жорсткий” детермінований зв’язок, при якому значення, прийняте однією з випадкових величин, однозначно визначає значення, прийняте іншою.

На практиці функціональна залежність реалізується рідко, бо обидві величини або навіть одна з них можуть ще зазнавати на собі дії різних випадкових факторів, при чому серед них можуть бути і фактори, спільні для обох величин. В цьому випадку виникає статична залежність.

Статичною називають залежність, при якій зміна однієї з величин викликає зміну розподілу іншої величини.

Кореляційною називають статичну залежність, при якій зміна однієї з величин викликає зміну середнього значення іншої величини. (Наприклад, середній врожай є функцією від кількості добрив).

В теорії кореляції розглядають дві основні задачі.

Перша задача – це встановлення форми кореляційного зв’язку, тобто знаходження лінії регресії, що задається певним рівнянням регресії(лінійна, квадратична, кубічна, показникові, логарифмічна тощо).

Друга задача – це оцінювання сили кореляційного зв’язку, тобто знаходження величини зв’язку між ознаками.

Для з’ясування залежностей між двома ознаками та при проведенні експериментів необхідно спостерігати(вимірювати)одночасно кожну з них. Одержані взаємопов’язані пари подавати однією таблицею. Це буде таблиця з подвійним входом, якщо пари зустрічаються більше, ніж один раз.

Першим етапом з’ясування наявності і характеру зв’язку між досліджуваними ознаками є графічне (емпіричне) зображення точок на координатній площині, по розташуванню яких можна робити певні висновки. Найчастіше цей зв’язок виявляється лінійним.

Знаходження параметрів вибіркового рівняння прямої лінії регресії.

Розглядаємо першу задачу теорії кореляції. Нехай ознаки і зв’язані лінійною кореляційною залежністю. Вважатимемо, що різні значення ознаки і відповідні їм значення ознаки спостерігаються по одному разу. За результатами випадкової вибірки , з генеральної сукупності шукається вибіркове рівняння прямої лінії регресії у вигляді , де і - невідомі параметри, - кутовий коефіцієнт, що називається вибірковим коефіцієнтом регресії на .

Для обчислення значень параметрів вибраного рівняння регресії найчастіше користуються методом найменших квадратів. Сутність цього методу полягає в тому, що сума квадратів відстаней експериментальних точок від найбільш ймовірної кривої є найменшою (звідси і назва методу).

Для розв’язання цієї задачі потрібно визначити точку мінімуму функції