Приклади статистичних гіпотез

1) Гіпотеза про розподіл – це твердження про те, що випадкова величина (ознака) X генеральної сукупності, що досліджується, має цей чи інший закон розподілу, функцію розподілу F(x) або щільність розподілу ймовірностей f(x).

Математично це записується так:

H₀ : F(x)=g(x), де g(x) – відома функція.

Це є проста гіпотеза.

Наприклад, гіпотеза

є складеною, оскільки невідомими після даного твердження залишаються а та .

2) Гіпотеза про незалежність – це твердження про те, що дві випадкові величини (ознаки) X та Y у генеральній сукупності, є незалежними:

H₀ : P(X=x_i, Y=y_j) =P(X=x_i) P(Y=y_j), ,

3) Параметрична гіпотеза – це твердження про те, що деякі параметри розподілу випадкової величини Х в генеральній сукупності приймають ті чи інші значення.

Наприклад, для показникового розподілу з параметром розглядається гіпотеза Н₀ : показниковий розподіл має параметр .

Ця гіпотеза є складеною, бо вона складається із нескінченої множини гіпотез:

, де

4) Гіпотеза про рівність центрів розподілу двох нормальних генеральних сукупностей.

5) Гіпотеза про рівність дисперсій двох нормальних генеральних сукупностей.

2. Похибки перевірки гіпотез.

Висунута статистична гіпотеза може бути правильною або неправильною, тому виникає необхідність її перевірки.

Після формулювання статистичної гіпотези ставиться задача її перевірки за результатами випадкової вибірки. При перевірці будь-якої статистичної гіпотези рішення дослідника ніколи не приймається з впевненістю. Він завжди допускає ризик прийняття неправильного рішення. Суть перевірки статистичної гіпотези якраз і полягає в тому, що вона є засобом контролю і оцінки цього ризику.

Перевірку гіпотези за даними вибірки називають статистичною.

При перевірці статистичної гіпотези за даними випадкової вибірки можна зробити хибний висновок. При цьому можуть бути похибки першого та другого роду.

Якщо за висновком буде відкинута правильна основна гіпотеза, то це похибка першого роду.

Якщо за висновком буде прийнята неправильна (основна) гіпотеза, то це похибка другого роду.

Ймовірність здійснити похибку першого роду позначають і називають рівнем значущості.

Найчастіше рівень значущості приймають рівним 0,05 або 0,01. Якщо прийняти =0,05 то це означає, що в 5 випадках із 100 ми ризикуємо одержати похибку першого роду (відкинути правильну гіпотезу).

3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез.

Перевірку статистичної гіпотези можна здійснити лише з використанням даних вибірки. Необхідно на основі вибірки знайти правило, за допомогою якого можна вирішити питання про відповідність гіпотези Н₀ отриманим статистичним даним.

Правило, за яким приймається рішення прийняти або відхилити гіпотезу Н₀, називають критерієм узгодження.

Статистичним критерієм узгодження або критерієм узгодження перевірки гіпотези (або просто критерієм) називають випадкову величину К, розподіл якої (точний або наближений) відомий і яка застосовується для перевірки основної гіпотези.

Спостереженим значенням критерію узгодження К_cn називають те значення критерію, яке обчислюється за допомогою вибірки.

Після обрання певного критерію, множину усіх його можливих значень поділяють на дві підмножини, що не перетинаються: одна з них містить значення критерію, при яких основна гіпотеза відхиляється, а друга – при яких вона приймається.

Критичною областю називають сукупність значень критерію, при яких основна гіпотеза відхиляється.

Областю прийняття гіпотези (областю допустимих значень) називають множину значень критерію, при яких основну гіпотезу приймають.

Критичними точками критерію К називають точки К_кр, які відокремлюють критичну область від області прийняття гіпотези.

Розрізняють однобічну (правобічну або лівобічну) та двобічну критичні області.

Правобічною називають критичну область, що визначається нерівністю К >К_кр, де К_кр > 0.

Лівобічною називають критичну область, що визначається нерівністю К < К_кр, де К_кр < 0.

У випадку правобічної критичної області критичну точку К_кр шукають із врахуванням вимоги

Р(К>К_кр)= ,

у випадку лівобічної критичної області – Р(К>К_кр)= .

У випадку двобічної критичної області повинна виконуватись рівність:

Р(К <К_кр1) + Р(К >К_кр2)= , де К_кр2 >К_кр1.