1. Определение, свойства и вычисление определенного интеграла

Литература.1, гл.XI, § 1-5, 6 (пример можно пропустить), упр. 8, 10, 11, 13, 16-21, 23, 24.

Пример. Вычислить .

Решение. Так как интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, то

2. Геометрические приложения определенного интеграла

Литература. 1, гл.XII, §1, упр. 1, 3, 5-11; §2, упр. 13, 14, 17, 18; §3, упр. 38-41, 43, 47; §4, 5, упр. 20-23, 25, 32; §6, упр. 49, 51, 53, 56.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Построим в системе координат эти линии. Найдем точки пересечения этих линий

Рис.1.

Обозначим эти точки через A и В. Итак, А(1; 5), В(5; 1). Искомая площадь S равна разности площадей фигур, ограниченных линиями , , , (обозначим эту площадь через S₁) и линиями , , , (эту площадь обозначим через S₂). Таким образом

S = S₁ – S₂

Площадь S₂ может быть вычислена с применением определенного интеграла

ед².

Площадь S₁ можно, конечно, вычислить как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника, но удобнее все-таки вычислить S₁ как интеграл

.

Теперь можно вычислить и искомую площадь

S = S₁ – S₂ = 12 – 5 ln5

Ответ: S =12 – 5 ln5 ед².

Пример 2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной прямой и параболой .

Решение. Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим .

Рис. 2.

Объем тела может быть вычислен по формуле , где

, .

.

Ответ: .

Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

2, гл. XIII, § 2, 3, упр. 1-8.

2. Уравнение с разделенными и разделяющимися переменными

2, гл. XIII, § 4, упр. 9-16.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Сначала определим вид дифференциального уравнения. Данное уравнение не является уравнением с разделенными переменными, так как коэффициенты при и зависят каждый от двух переменных. Но, разделив обе части уравнения на произведение (считая, что ), приведем его к виду

это уравнение с разделенными переменными.

Находим общее решение

или

.

Умножив обе части на (-1), включим знак “-“ в постоянную С. Решение примет вид

.

Таким образом, нами получено общее решение заданного уравнения.

3. Однородные уравнения первого порядка

2, гл. ХIII, § 5, упр. 39-46.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

. (1)

Решение. Определим вид этого уравнения. Это – однородное уравнение, поскольку его правая часть есть .

Поделив почленно правую часть на , получим

Делаем подстановку или . Тогда и уравнение примет вид

. (2)

Разделяем переменные

и интегрируем

или после потенцирования

.

Нами получено общее решение уравнения (2).

Чтобы найти общее решение уравнения (1), вернемся к старой переменной y. Подставим , тогда будем иметь

или .