2.2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
Возьмём в покоящейся
жидкости точку D
с координатами x,y,z
и выделим при ней элементарный объём в
виде прямоугольного параллелепипеда
со сторонами dx,
dy,
dz
(рис. 2.3). Его
объем равен
,
а масса −
.
На выделенный
элемент действует массовая сила
и поверхностные
силы давления, направленные нормально к граням внутрь объема.
Составим уравнение
равновесия объема в проекции на ось х.
Будем считать, что по бесконечно малой
площадке давление распределено равномерно
и равно среднему давлению (давлению в
центре грани). На грань
действует давление p
и вызванная им сила
.
На грань
действует давление
.
Оно создает силу
,
направленную противоположно оси x.
Единичная массовая
сила, действующая в жидкости, имеет
составляющие X,Y,Z.
Проекция массовой силы
на ось х будет
равна
.
Итак, уравнение равновесия в проекции на ось х запишется в виде:
(2.3)
Открыв скобки,
сократив на не равное нулю произведение
и разделив на ρ, получим
.
Аналогично выглядят проекции уравнения
равновесия на другие оси. В итоге получим
систему дифференциальных уравнений
равновесия (уравнений Эйлера), имеющую
вид:
;
;
. (2.4)
Для решения этой
системы сведём её к одному уравнению.
Для этого умножим первое на dx,
второе на dy,
третье на dz
и сложим все три уравнения. Получим :
(2.5)
Трёхчлен в скобках – полный дифференциал давления dp. В итоге получим:
(2.6)
Это уравнение также является дифференциальным уравнением равновесия. Оно может быть решено, если известны проекции единичных массовых сил X, Y, Z.
Запишем последнее
уравнение в виде
Поскольку жидкость рассматриваем как
несжимаемую (ρ=const),
то уравнение имеет смысл, если выражение
в скобках представляет собой полный
дифференциал,
как и правая часть. Для этого необходимо, чтобы существовала некоторая функция U(x,y,z), частные производные от которой равнялись бы проекциям X,Y,Z , то - есть должны существовать равенства:
(2.7)
Функцию U можно назвать силовой или потенциальной. Так как массовые силы пропорциональны создаваемым ими ускорениям X,Y,Z, то их называют силами, имеющими потенциал.
Введем понятие поверхности равного давления. Это поверхность ,
проведенная в жидкости так, что на ней давление постоянно (p = const, dp=0).
Уравнение равновесия будет для нее иметь вид:
(2.8)
Это и есть уравнение поверхности равного давления. Из аналитической геометрии известно, что это – условие перпендикулярности двух векторов с проекциями dx,dy,dz и X,Y,Z. Поскольку dx,dy,dz − проекции отрезка, лежащего на поверхности равного давления, а X,Y,Z − проекции результирующей единичной массовой силы, то можно сделать вывод: поверхность равного давления перпендикулярна направлению результирующего ускорения от массовых сил, действующих в жидкости.
Частным случаем поверхности равного давления является свободная поверхность, отделяющая жидкость от окружающей среды − на ней давление равно давлению окружающей среды.