4.2. Уравнение Бернулли для потока жидкости

Рассмотрим установившееся движение плавно изменяющегося потока вязкой несжимаемой жидкости (рис. 4.3). Считаем, что температура потока не изменяется вследствие тепловых процессов (поток изотермический).

Прежде всего рассмотрим, как изменяется давление по сечению потока.

Для простоты возьмем сечение ω₁, расположенное горизонтально.

Так как скорости u в этом сечении параллельны оси х, то

.

Тогда система дифференциальных уравнений примет вид:

; ; .

Последние два уравнения описывают изменение давления в плоскости x0y

и полностью совпадают с соответствующими уравнениями равновесия (2.4).

Следовательно, в плоскости x0y (в плоскости живого сечения потока) давление распределяется по закону гидростатики (2.10):

(4.9)

Энергия dE жидкости, протекающей через живое сечение элементарной струйки за единицу времени, равна:

. (4.10)

Чтобы получить полную энергию всего потока, нужно просуммировать

(проинтегрировать) энергию всех струек, проходящих через сечение ω:

. (4.11)

Для двух сечений потока уравнение сохранения полной энергии

(в случае, если бы жидкость была идеальной) имеет вид:

. (4.12)

Гидравлические потери удельной энергии струйки равны h_w . Потери полной энергии учтем, считая, что h_w − средние потери напора в сечении (одинаковые для всех струек). Тогда гидравлические потери полной энергии потока равны . С учетом этого выражение (4.12) примет вид:

.

Это выражение называется уравнением энергии потока вязкой жидкости в интегральной форме.

Так как для сечений 1 и 2 справедливо выражение (4.9), то первый интеграл в левой и правой части можно переписать в виде

.

Второй интеграл можно преобразовать следующим образом:

.

Тогда уравнение энергии в интегральной форме примет вид

. (4.13)

Перейдем снова к удельной энергии, разделив уравнение (4.13) на ρgQ.

(4.14)

Учтя, что , и умножив/разделив третье слагаемое в левой и правой частях этого выражения соответственно на и , получим

.

Введем обозначения:

; . (4.15)

Коэффициенты α₁ и α ₂ учитывают влияние формы эпюры скоростей

на удельную кинетическую энергию потока и называются коэффициентами

Кориолиса. С учетом этого выражение (4.15) примет вид:

. (4.16)

Это выражение носит название уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости и широко применяется в расчетах установившегося движения.

4.4. Гидравлические устройства, основанные на применении

уравнения Бернулли

Расходомер Вентури служит для измерения расхода жидкости в трубопроводах и представляет собой плавное сужающее устройство, монтируемое как врезка в трубопровод (рис. 4.7, а). К широкому сечению трубки Вентури площадью ω₁ и узкому площадью ω₂ присоединены трубки дифференциального манометра ДМ, измеряющего разность давлений Δр в этих сечениях.

Рис. 4.7. Гидравлические устройства, основанные на применении уравнения Бернулли:

а – расходомер Вентури; b – трубка Пито−Прандтля; с− эжекционный насос

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1−1 и 2−2 (плоскость сравнения 0 − 0, z₁ = z₂ = 0, гидравлическими потерями пренебрегаем):

. (4.21)

Так как по уравнению постоянства расхода , то .

Подставив это в (4.21) и сократив на g, получим:

. (4.22)

Обозначив , из (4.22) найдем V₂ :

.

Найдем расход:

.

Введем сюда коэффициент μ , учитывающий уменьшение расхода из-за

гидравлических потерь, и окончательно получим: , где

− постоянная прибора.

Таким образом, расходомер Вентури измеряет расход через определение перепада давлений Δр.

Трубка Пито − Прандтля (рис. 4.7, b) предназначена для измерения местной жидкости или газа в каналах, а также для измерения скорости движения тела относительно неподвижной жидкости (газа) – например, скорости судна или самолета.

Она состоит из пустотелого обтекаемого корпуса 3 с отверстиями на боковой поверхности. В корпусе помещается приемник полного давления − трубка 4, направленная своим отверстием навстречу набегающему потоку.

Обозначим параметры невозмущенного потока (параметры на таком расстоянии от носика трубки , при котором не наблюдается влияние самой трубки на поток) через . Рассмотрим элементарную струйку, текущую

по оси трубки. Сечение 1−1 соответствует параметрам невозмущенного потока, сечение 2−2 – месту встречи струйки с входом в приемник полного давления.

Составим уравнение Бернулли для сечений струйки 1−1 и 2−2, считая ее идеальной (пренебрегая гидравлическими потерями). Скорость в сечении 2−2 равна нулю, так как струйка тормозится, ударяясь в неподвижную жидкость, заполняющую трубку 4; z₁ = z₂ = 0.

. (4.23)

Опыты показывают, что в полости А трубки устанавливается давление,

весьма близкое к давлению невозмущенного потока . Поэтому она называется приемником статического давления.

Из формулы (4.23) легко получить:

, где . (4.24)

Величина перепада давлений Δр измеряется дифференциальным манометром.

Эжекционный насос (элеватор) состоит из трубки 1, имеющей на конце плавное сужение, камеры смешения 2 и постепенно расширяющейся трубки 4,

входное отверстие которой расположено на небольшом расстояния от выхода из трубки 1 в камере 2 (рис. 4.7, с). По трубке 1 в камеру смешения подается расход несущей жидкости Q₁. Из-за сужения трубки 1 скорость в ее выходном сечении растет, а давление (в соответствии с уравнением Бернулли) падает. Одновременно давление падает во всей полости В. Благодаря этому жидкость из водоема, резервуара или другой трубы, где давление меньше давления в

камере 2, засасывается в нее по трубке 3 с расходом Q₂. В полости В происходит слияние и перемешивание потоков; суммарный поток с расходом

Q₁ + Q₂ выходит по трубке 4 и движется далее по трубопроводу.