Тема 2. Элементы векторной алгебры Лекция № 3. Тема: Векторы. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

План:

Понятие вектора. Коллинарность, компланарность векторов.
Линейные операции над векторами.
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов

1. Понятие вектора. Коллинарность, компланарность векторов.

Определение: Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В.

Обозначение: , ,

Определение: Длиной или модулем вектора вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Определение: Вектор называется нулевым, если начало и конец вектора совпадают.

Определение: Вектор единичной длины называется единичным.

Определение: Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых ( || ).

Замечание:

1.Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

2. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение: Два вектора называются равными, если они коллинеарные,

одинаково направлены и имеют одинаковые длины ( = )

Определение: Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях

2. Линейные операции над векторами:

Произведением вектора на число λ называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если λ>0, и противоположно ему, если λ<0

Противоположным вектором – называется произведение вектора на число (-1), т. е. – =(-1)

Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольников)

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма, где вектор представляет собой диагональ параллелограмма

Аналогично определяется сумма нескольких векторов.

Например, суммой четырех вектор является вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (правило многоугольника)

Вектор , определяемый таким образом, представляет собой диагональ параллелепипеда, построенного на векторах , не лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях (правило параллелепипеда)

Разностью двух векторов называется сумма вектора и вектора , противоположного (можно вычитать векторы по правилу , т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору )