2. Числовая последовательность.
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность
x1, х2, …, хn = {xn}
Общий элемент последовательности является функцией от n, т.е. xn = f(n)
Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …
Определение. Последовательность
{xn}
называется ограниченной, если существует
такое число М > 0, что для любого n
верно неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что xn M.
Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что xn M
Определение. Число а называется
пределом последовательности {xn},
если для любого положительного >0
существует такой номер N,
что для всех n > N
выполняется условие:
Обозначение: lim xn = a.
В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n.
Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Определение.
1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая
2) Если xn+1 xn для всех n, то последовательность неубывающая.
3) Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.
4)Если xn+1 xn для всех n, то последовательность невозрастающая
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная, {xn} = n – возрастающая и неограниченная.
3. Предел функции в точке.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что
0 < x - a < верно неравенствоf(x) - A< .
Обозначение:
Определение. Если f(x)
A1 при х
а только при x <
a, то
- называется пределом функции f(x)
в точке х = а слева, а если f(x)
A2 при х
а только при x >
a, то
называется пределом функции f(x)
в точке х = а справа.
Данное определение справедливо для функции f(x), которая не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.
Пределы А1 и А2 называются односторонними пределами функции f(x) в точке х = а.
4. Предел функции на бесконечности.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число >0, что для всех
х: х>
выполняется неравенство
Обозначение:
5. Основные теоремы о пределах.
Теорема 1.
,
где С = const.
Теорема 2.
Теорема 3.
Следствие.
Теорема 4.
при
Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.
Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) 0, f(x) 0.
Теорема 6. Если g(x)
f(x)
u(x)
вблизи точки х = а и
,
то и
.