4. Векторное произведение векторов

Обозначение: х или [ , ]

Выражение векторного произведения через координаты

Для определения векторного произведения через координаты будем использовать таблицу векторного произведения векторов , и :

*
			-
	-
		-

Теорема: Если векторы и заданы своими координатами: = {x₁, y_1, z₁}, ={x₂, y_2, z₂}, то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой:

= = – разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки.

5. Смешанное произведение векторов

Определение: Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов х , т. е.

( х )

Тема 3. Элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве Лекция № 4. Тема: Прямая линия на плоскости

1. Виды уравнений прямой на плоскости.

Общее уравнение прямой

Имеет вид Ax+By+C=0, где А и В – одновременно не равны 0

Определение. Уравнением линии называется такое уравнение, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии

Обозначение: В общем виде F(x, y)=0 или y=f(x) (если возможно),

где F(x, y), f(x) – некоторые функции

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

имеет вид y=kx+b, где k-угловой коэффициент прямой, равный k=tgα

Тема: Плоскость и прямая в пространстве

1. Виды уравнений плоскости в пространстве.

Пусть точка Mo(x₀,y₀,z₀) лежит на плоскости и вектор (A,B,C) перпендикулярен к плоскости (рис.1)

Возьмём на плоскости  любую точку M(x,y,z), образуем вектор и используем условие перпендикулярности двух векторов и .

  ( , ) = 0

Запишем уравнение данное уравнение в координатной форме.

(x₀-x, y₀-y, z-z₀), (A, B, C)

( , ) = A(x-x₀) + B(y₀-y) + C(z-z₀)

Преобразуя последнее выражение, получим Ax+By+Cz+D=0, где

D=-Ax₀-By₀-Cz₀

Уравнение Ax+By+Cz+D=0 называется общим уравнением плоскости в пространстве.

Тема 4. Введение в математический анализ. Теория пределов Лекция № 5. Тема: Функции и их свойства. Предел последовательности и функции.

План:

1. Функции и их свойства.

2. Числовая последовательность.

3. Предел функции в точке.

4. Предел функции на бесконечности.

5. Основные теоремы о пределах.

6. Замечательные пределы.

1.Функции и их свойства.

Определение: Пусть заданы некоторые числовые множества X, Y.

Если каждому элементу x множества X ставиться в соответствие определенный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция y = f(x).

Переменная x называется независимой переменной или аргументом, y – зависимой или функцией

Множество X – область допустимых значений независимой переменной x, множество Y- множество значений функции.

Определение: Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy, для каждой из которых x является значением аргумента, а y соответствующим значением функции.

Способы задания функции:

1. Аналитический способ. При этом способе указывается формула, связывающая зависимую переменную величину с независимой переменной величиной.

2. Табличный способ. При этом способе выписываются в определенном порядке значения аргумента x₁, x₂, x₃…x_n и соответствующие значения функции y₁, y₂, y₃…y_n

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

3. Графический способ. Этот способ удобен, когда задать функцию аналитически довольно трудно. Этот способ состоит в изображении графика функции – т. е. множества точек (x, y) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента x, ординаты – соответствующие им значения функции y=f(x).

4. Словесный способ. Функция описывается правилом составления.

Основные свойства функции:

1. Четность и нечетность функции.

Определение: Функция y=f(x) называется четной, если при всех значениях x из области определения этой функции выполняется условие f(-x)=f(x).

Определение: Функция y=f(x) называется нечетной, если при всех значениях x из области определения этой функции выполняется условие f(-x)=-f(x).

Замечание: Если функция не является не четной и не нечетной, то функция является функцией общего вида.

2. Монотонность функции.

Определение: Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей (возрастающей) на множестве X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т. е. для x₁, x₂ϵX и x₂>x_1, следовательно, f(x₂)>f(x₁)

Определение: Функция y = f(x) называется монотонно убывающей (убывающей) на множестве X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т. е. для x₁, x₂ϵX и x₂>x_1, следовательно, f(x₂)<f(x₁)

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

3. Ограниченность функции.

Определение: Функция y = f(x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М > 0, что |f(x)| ≤ M для любого xϵM. В противном случае, функция называется неограниченной.

4. Периодичность функции.

Определение: Функция y = f(x) называется периодической, если существует число Т≠0, такое, что при любых x из области определения функции выполняется условие f(x+T)=f(x). Число Т называется периодом функции.