Тема 6. Интегрирование функции одной переменной

Лекция № 7.

Тема: Неопределённое интегрирование.

План:

1. Понятие неопределенного интеграла.

2. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

3. Замена переменной в неопределенном интеграле

4. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

5. Интегрирование рациональных дробей.

6. Интегрирование тригонометрических выражений.

1. Понятие неопределенного интеграла.

Определение. Функция называется первообразной функции заданной на интервале , если она дифференцируема и для любого из этого интервала .

Определение. Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции и обозначается .

называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования.

2.Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

Пусть – одна из первообразных .

1. .

2. .

3. .

Таблица интегралов:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.

3. Замена переменной в неопределенном интеграле

Пусть требуется найти неопределенный интеграл , но непосредственно подобрать первообразную для не удается, хотя известно, что она существует. Во многих случаях введением вместо переменной интегрирования некоторой новой переменной можно данный интеграл свести к другому, который или содержится в таблице основных интегралов или легко вычисляется другим способом.

Такой метод называется методом замены переменной, или методом подстановки.

Итак, введем новую переменную по формуле – дифференцируемая функция на некотором интервале, при этом функция непрерывна на соответствующем интервале изменения . Тогда – формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример. Найти .

Сделаем замену переменной по формуле:

.

4. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Пусть – дифференцируемые функции, тогда дифференциал их произведения . Интегрируя это равенство, получим:

- формула интегрирования по частям.

Эта формула применяется к интегрированию выражений, которые можно представить в виде произведения двух сомножителей и так, что отыскание функции по ее дифференциалу и вычисление интеграла составляет в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление .

Пример. Найти .

Пусть тогда все остальное в подынтегральном выражении

: . Найдем . Применяя формулу, получим: .