Глава 8. Центр тяжести

8.1. Основные понятия

Рассмотрим систему сил, направленных в одну сторону вдоль параллельных прямых. Такая система сил имеет равнодействующую силу, направленную в ту же сторону, равную по величине сумме модулей этих сил

и приложенную в некоторой точке С.

Центром параллельных сил называется точка приложения равнодействующей силы для системы параллельных сил, которая не изменяется при повороте всех сил системы вокруг параллельных осей, проходящих через их точки приложения, на одинаковый угол в одном направлении (см. рис. 111).

Рис. 111

Выведем формулы для нахождения координат центра параллельных сил. Пусть имеется система параллельных сил . Радиусы-векторы точек их приложения относительно центра О обозначим . Пусть С – центр этой системы параллельных сил, - радиус-вектор точки С (см. рис. 112).

Рис. 112

Введем единичный вектор , параллельный силам. Тогда

По теореме Вариньона

Подставим сюда выражения сил через единичный вектор

Перенеся все члены последнего равенства в левую сторону и вынося вектор за скобки, получим

Это равенство справедливо при любом направлении параллельных сил, т. е. при любом направлении вектора . Отсюда следует, что

и

(80)

Формула (80) позволяет находить радиус-вектор центра параллельных сил. Проецируя обе части этого векторного равенства на оси координат, получим формулы для вычисления координат центра параллельных сил:

(81)

Если в качестве параллельных сил рассмотреть силы тяжести, приложенные к элементарным частицам тела, то соответствующий им центр параллельных сил называется центром тяжести тела.

На основании формулы (80) выведем формулу для нахождения центра тяжести тела. Разобьем тело на элементарные частицы и обозначим вес частицы с номером k. Тогда для радиуса-вектора центра тяжести получим

(82)

где суммирование производится по всем элементарным частицам тела. Знаменатель представляет собой вес тела

Вес элементарной частицы, имеющей объем можно выразить по формуле

где - удельный вес частицы. Подставляя эти значения в (82) и переходя к пределу при для радиуса-вектора центра тяжести окончательно получим

(83)

Если рассматриваемое тело однородное, то и формула (83) примет вид

где V – объем тела.

8.2. Нахождение центров тяжести простейших однородных тел

Треугольная пластинка.

Разобьем пластинку на тонкие полоски, параллельные одной из сторон треугольника ( см. рис. 113 ). Каждую полоску можно рассматривать как

Рис. 113

прямоугольную, так как площади треугольных остатков на ее краях представляют собой бесконечно малые величины по сравнению с площадью всей полоски. Центр тяжести каждой полоски лежит на ее середине.

Таким образом, вес пластинки распределяется вдоль медианы треугольника, проходящей через середины этих полосок. Следовательно, треугольника.

Разобьем теперь пластинку на тонкие полоски, параллельные другой стороне треугольника. Аналогично получим, что центр тяжести пластинки лежит на второй медиане треугольника. Следовательно, центр тяжести треугольной пластинки лежит на пересечении медиан. Напомним, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 1 к 2.

Дуга окружности.

Найдем положение центра тяжести однородной дуги окружности, имеющей центральный угол и радиус R (см. рис. 114). Центр тяжести С находится на оси симметрии, которую примем за ось Ox.

Рис. 114

Выражение для координаты имеет вид:

Для элементарного участка дуги длиной имеем длина всей дуги Подставляя эти значения в последнюю формулу, получим

Окончательно имеем

(84)

Круговой сектор.

Разобьем круговой сектор на элементарные одинаковые круговые секторы (см. рис. 115). Вследствие малости каждого сектора можно считать его

Рис. 115

основание (элементарную дугу окружности) прямолинейным. Тогда центр тяжести каждого такого сектора лежит на расстоянии от вершины О. Таким образом, вес всего сектора равномерно распределится по дуге окружности радиусом с тем же центральным углом . Центр тяжести дуги находим по формуле (84), которая для этого случая имеет вид

(85)