Глава 2. Простейшие движения твердого тела

В теоретической механике движения твердого тела классифицируются по степени сложности. Различают поступательное, вращательное, плоское (плоскопараллельное), сферическое и свободное виды движения.

Поступательное и вращательное движения называют простейшими.

1. Поступательное движение твердого тела

Движение твердого тела называется поступательным, если любая прямая, неизменно связанная с телом, во все время движения остается параллельной своему первоначальному положению.

Указанное в определении условие выполняется, если две непараллельные прямые, связанные с телом, остаются параллельными своим первоначальным направлениям. При поступательном движении точки тела могут двигаться по любым траекториям.

Теорема (об основных свойствах поступательного движения)

При поступательном движении твердого тела все его точки движутся по одинаковым траекториям (при наложении совпадающим) и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения.

Доказательство

Выберем на теле, совершающем поступательное движение, две произвольные точки А и В (рис. 11), в пространстве – неподвижную точку О и проведем из нее радиусы-векторы точек А и В. Нетрудно видеть, что во все время движения справедливо векторное равенство

(17)

где вектор имеет постоянный модуль и постоянное направление. Отсюда следует, что траектория точки В может быть получена смещением траектории точки А на величину вектора .

Рис. 11

Продифференцируем теперь векторное равенство (17) по времени, получим

или (18)

так как При повторном дифференцировании (18) получим аналогичное соотношение для ускорений точек:

(19)

Теорема доказана

Из теоремы следует, что для изучения поступательного движения твердого тела достаточно изучить движение только одной его точки.

2.2. Вращательное движение твердого тела

2.2.1. Основные понятия

Движение твердого тела называется вращательным, если найдутся, по крайней мере, две точки, неизменно связанные с телом, которые остаются неподвижными во все время движения.

Прямая, проходящая через эти неподвижные точки, называется осью вращения. При вращательном движении точки тела, не лежащие на оси вращения, движутся по окружностям, расположенным в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения с центрами на этой оси. Скорости точек, расположенных на оси вращения, равны нулю. На оси вращения обычно выбирают положительное направление (ось z, рис. 12).

Рис. 12

Проведем через ось вращения две полуплоскости: неподвижную Н и неизменно связанную с телом П. Положение полуплоскости П, а следовательно, и всего тела, можно задать линейным углом двугранного угла между полуплоскостями Н и П (рис. 12). Угол считается положительным, если он отсчитан от неподвижной плоскости к подвижной против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси вращения. Будучи отсчитанным по часовой стрелке, угол считается отрицательным.

Введенный таким образом угол называется углом поворота тела. Если угол поворота задать как функцию времени, то полученное уравнение называют кинематическим уравнением вращательного движения твердого тела :

(20)

При изучении движения тела характеристики движения подразделяются на глобальные (одинаковые для всех точек тела) и локальные (различные для разных точек тела). Покажем далее, как с помощью уравнения (20) найти все эти характеристики движения.

2.2.2. Угловая скорость и угловое ускорение тела

Средней угловой скоростью тела за промежуток времени называется

Мгновенной угловой скоростью (или просто угловой скоростью) тела в момент времени t называется

(21)

Определяемая по формуле (21) угловая скорость может принимать положительные и отрицательные значения. Поэтому величина называется алгебраическим значением угловой скорости. Угловая скорость как физическая характеристика движения считается положительной и определяется выражением

Угловая скорость характеризует быстроту вращения тела.

Аналогично определяются среднее и мгновенное угловые ускорения:

(22)

Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости. Угловая скорость и угловое ускорение являются глобальными характеристиками движения, их часто обозначают дуговыми стрелками, охватывающими ось вращения и указывающими направление соответствующих характеристик движения (рис. 13).

Иногда угловую скорость и угловое ускорение изображают в виде векторов, которые по модулю равны соответствующим физическим характеристикам и направлены вдоль оси вращения по правилу правого винта. Направив вдоль оси вращения ось z так, чтобы при взгляде навстречу этой оси положительное направление отсчета угла было видно против часовой стрелки, можно для введенных векторов написать соотношения

Рис. 13

2.2.3. Простейшие случаи вращательного движения твердого тела

Отметим два важных простейших случая вращательного движения тела.

1. Равномерное вращение. Оно характеризуется постоянной угловой скоростью =const. В этом случае угловое ускорение =0 и угол поворота определяется по формуле

Здесь и далее считается, что начальному положению тела при t=0 соответствует угол =0.

2. Равнопеременное вращение. Оно характеризуется постоянным угловым ускорением =const. В этом случае угловая скорость и угол поворота тела рассчитываются по формулам

Здесь – начальная угловая скорость, знак « + » соответствует равноускоренному вращению, знак « − » – равнозамедленному.

2.2.4. Определение скоростей и ускорений точек тела

Пусть задано кинематическое уравнение вращательного движения тела Зададим движение произвольной точки М тела естественным способом. Начало отсчета дуговой координаты на траектории выберем в точке пересечения траектории с неподвижной полуплоскостью Н (см. рис. 14). Положительное направление отсчета дуговой координаты s совместим с положительным направлением отсчета угла поворота .

Рис. 14

Тогда уравнение движения точки М по ее траектории примет вид

где h – расстояние от точки М до оси вращения (радиус окружности, по которой движется точка).

Для алгебраической скорости точки М получим

Модуль скорости точки определится по формуле

(23)

Вектор скорости точки М будет направлен по касательной к траектории, согласуясь с направлением угловой скорости.

Тангенциальное и нормальное ускорения точки найдутся по формулам

(24)

Тангенциальное ускорение будет направлено по касательной к траектории точки, согласуясь с направлением углового ускорения . Нормальное ускорение направлено перпендикулярно касательной к оси вращения. Полное ускорение найдется по теореме Пифагора

(25)

Направление векторов скорости и ускорения показано на рис. 15.

Найдем угол  между векторами полного и нормального ускорения точки:

Рис. 15

Из этой формулы следует, что угол  для всех точек тела в любой момент времени одинаков.

2.2.5. Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела

Рассмотрим точку М вращающегося тела, положение которой определяется радиусом-вектором относительно полюса О, взятого на оси вращения (рис. 16). Докажем, что скорость этой точки может быть выражена в виде векторного произведения по формуле Эйлера:

(26)

Заметим сразу, что в данном случае где вектор не изменяется по величине (тело считается абсолютно твердым), но изменяет свое направление, поворачиваясь с угловой скоростью . Поэтому с использованием формулы Эйлера (26) можно вычислять производную по времени от произвольного вектора , не изменяющегося по величине:

Это выражение совпадает с полученной ранее формулой (12).

Рис 16

Вернемся к доказательству формулы (26). Для модуля скорости имеем

Направление вектора скорости тоже соответствует направлению векторного произведения в формуле (26).

Найдем далее вектор ускорения точки М как производную от вектора скорости по времени:

или окончательно

(27)

Для модуля вектора имеем

Направление векторного произведения тоже совпадает с направлением тангенциального ускорения. Таким образом, первое слагаемое в правой части (27) есть вектор тангенциального ускорения.

Найдем теперь модуль вектора :

В соответствии с правилом векторного произведения направление этого вектора тоже совпадает с направлением нормального ускорения, то есть второе слагаемое в правой части (27) равно вектору нормального ускорения.

Таким образом, для ускорения точек вращающегося тела справедливы векторные формулы:

(28)

Пример 3

Груз опускается вертикально вниз, двигаясь по закону м (t – в с). Он приводит во вращение ступенчатый шкив 1, посредством которого движение передается диску 2 (рис.17). Определить скорость и ускорение точки А, лежащей на ободе диска 2, в момент времени с, если скольжение между дисками отсутствует. Заданы радиусы м, м, м.

Рис. 17

Решение

Найдем вначале скорость груза Точка С схода нити будет иметь такую же скорость. Теперь можно найти угловую скорость шкива 1

Далее можно последовательно найти скорость точки зацепления дисков

угловую скорость диска 2

его угловое ускорение

а также искомые скорость и ускорение точки А:

Вычислив искомые величины при сек, получим окончательный ответ:

,

Покажем все найденные характеристики движения на рисунке.