Глава 4. Плоское движение твердого тела
Основные понятия
Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение твердого тела, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости.
Плоскости, в которых движутся различные точки тела, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Траектории точек тела при этом являются плоскими кривыми. Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике, так как это движение совершают большинство звеньев в механизмах и машинах. Вращательное движение твердого тела можно считать частным случаем плоского.
Рассмотрим тело, совершающее плоское движение, параллельное неподвижной плоскости Н (см. рис. 31).
Рис. 31
Тогда любая прямая, перпендикулярная к этой плоскости и жестко связанная с телом, будет двигаться поступательно. То есть, все точки этой прямой движутся одинаково. Достаточно изучить движение одной из них, например, точки М. Рассуждая аналогично для точек тела, лежащих на других скрепленных с телом прямых, перпендикулярных плоскости Н, можно сделать вывод, что для изучения плоского движения твердого тела достаточно изучить движение только одного его сечения плоскостью, параллельной плоскости Н. Это сечение в дальнейшем будем называть плоской фигурой и располагать в плоскости чертежа.
Движение плоской
фигуры в ее плоскости можно бесчисленным
количеством способов разложить на два
более простых – поступательное и
вращательное, используя положения
предыдущей главы. Для этого основную
систему координат
свяжем с неподвижной плоскостью Н
(плоскостью рисунка), а поступательно
перемещающуюся подвижную систему
координат
свяжем с выбранной точкой А плоской
фигуры, называемой полюсом (см. рис. 32).
Рис. 32
Тогда
плоское движение фигуры разложится на
поступательное переносное вместе с
выбранной подвижной системой координат
и относительное вращательное по отношению
к подвижной оси
,
проходящей через полюс А и перпендикулярной
плоскости рисунка. Для характеристики
вращательной части плоского движения
относительно указанной выше подвижной
оси вводится понятие угловой скорости
и углового ускорения тела при плоском
движении.
Если на плоской фигуре выбрать еще точку В, провести отрезок АВ и задать координаты полюса и угол φ (см. рис. 32) как функции времени
(41)
то записанные уравнения (41) называют кинематическими уравнениями плоского движения тела.
Докажем далее теорему о перемещении плоской фигуры.
Теорема
Плоскую фигуру из одного ее положения в любое другое можно перевести двумя перемещениями – поступательным в плоскости фигуры вместе с выбранным полюсом и поворотом в этой же плоскости вокруг этого полюса. При этом поступательная часть перемещения зависит от выбора полюса, а вращательная часть перемещения не зависит от выбора полюса.
Доказательство
Рассмотрим два любых положения плоской фигуры в ее плоскости, определяемые двумя положениями отрезка АВ, скрепленного с этой фигурой (см. рис. 33).
Рис. 33
Переместим плоскую
фигуру из левого положения в правое
сначала поступательно вместе с точкой
А, причем скрепленный с ней отрезок АВ
останется параллельным своему
первоначальному положению и займет
положение
,
а затем повернем фигуру вокруг точки
на угол
до совпадения
с
.
Далее, выбрав в
качестве полюса точку В, переместим
фигуру сначала поступательно вместе с
точкой В. При этом отрезок АВ займет
положение
.
После этого повернем фигуру на угол
вокруг
точки
до совпадения
с
.
Из рисунка видно, что поступательная
часть перемещения зависит от выбора
полюса (определяется траекторией
полюса), а вращательная часть перемещения
не зависит от выбора полюса, так как
как накрестлежащие углы и направление
поворота вокруг выбранных полюсов тоже
одинаково. Выбирая различные полюсы
такое перемещение плоской фигуры можно
производить бесчисленным количеством
способов. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении не завися от выбора полюса, то есть, в любой момент времени плоская фигура относительно подвижных осей, мысленно скрепленных с различными полюсами, поворачивается с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями.