Лекция пятая

Торки, 16 августа 1924 года

Тому, кто желает чему-то научить ребенка, нужно в какой-то мере понимать существо того, чему он желает научить, иначе, обучая и воспитывая, он рискует оказаться чуждым жизни. Все, что жизни сродни, — доступно пониманию. Можно было бы сказать: все, действительно понятное, должно быть сродни жизни. Абстракции чужды жизни.

В наше время в отношении определенных вещей педагог обладает лишь абстракциями, в отношении определенных вещей он чужд жизни. Этим обусловлены величайшие трудности для обучения и воспитания. Предположим, вы задались вопросом о том, как вы научились считать, о том, что положило начало вашей способности к счету. Вероятно, через некоторое время вы почувствуете, что нить, направлявшая ваши исследования, оборвалась, что вы хотя и научились некогда считать, но все же толком не знаете, что же вы, собственно, при этом делаете.

Существуют всевозможные педагогические теории, призванные разъяснить, как именно надлежит учить ребенка счету, но даже в тех случаях, когда, руководствуясь этими теориями, учителя достигают внешнего успеха, они не достигают всего человека. Свою склонность жить в абстракциях современность продемонстрировала, например, тем, что в школах стали пользоваться счетами. Пусть в торговых конторах люди пользуются счетами как им угодно, но, применяя счеты при обучении, невозможно донести до ребенка сущность числа.

Числа нужно брать из самой жизни При атом очень важно не упускать из виду, что ребенок не в состоянии усваивать через понимание все, чему его учат. Многое он должен принимать потому, что это исходит от авторитета, но, конечно, естественным, внутренне последовательным образом.

Вы, может быть, сочтете, что предлагаемый мною способ введения чисел труден для детей. Но это не беда. Очень важно, чтобы у человека в жизни были такие мгновения, когда в возрасте 30—40 лет он мог бы сказать себе: “Теперь я вдруг понял, что мне тогда преподали в школе, когда я учился во 2-м или 3-м классе”. Однако, познакомившись с распространенными в наше время приёмами наглядного обучения, можно прийти в отчаяние от того, в какие тривиальные формы облекается учебный материал ради того, чтобы сделать его якобы доступным детям.

Представьте себе, что перед вами совсем маленький ребенок, к тому же весьма неловкий, и вы говорите ему: “Погляди-ка, вот ты здесь стоишь. У меня есть деревянная палочка. Теперь я беру ножик. Теперь я отрезал от нее кусочек. Могу я точно так же поступить с тобою?” Конечно, он ответит, что с ним так поступить нельзя. “Значит, — говорите вы ему, — ты сильно отличаешься от деревянной палочки, раз я не могу от тебя отрезать кусочек. Дело в том, что ты представляешь собой единое целое, а палочка нет. Единым целым называют то, что так же, как и тебя, нельзя разрезать на куски .

Затем можно показать ему знак, которым единое целое обозначается. Это — один штрих. Далее ребенку можно сказать: Погляди-ка, у тебя есть две руки, правая и левая. Если бы у тебя была только одна рука, то, где бы она ни находилась, она была бы одна, так же, как и ты сам везде только один, ты же не можешь встретить самого себя, чтобы было два тебя. Но рука-то на самом деле не одна, их две, и они могут друг друга потрогать и сплести пальцы. Ты — это единое целое, поэтому ты — единица. но рука может встретить руку, руки — это двойка. Мы обозначим их двумя штрихами”. Так вы введете понятие единицы и понятие двойки.

Далее вы зовете еще одного ребенка и, поставив рядом с первым, говорите: “Вы можете встретиться, вы можете друг друга потрогать, вы — двойка. А вот если к вам присоединится еще и третий, то это будет уже совсем не похоже на две руки”. Так вы перейдете с детьми к тройке.

Числа могут быть выведены из самого человека. Путь к числу начинается с самого человека. Человек — это не абстракция, это жизнь.

Например, вы говорите детям: “Поглядите, у каждого из вас еще где-то есть двойка”. Естественно, они укажут вам на ноги. Затем вы говорите: “Я думаю, каждому из вас приходилось видеть собаку, она что, тоже передвигается на двух ногах?” Так вы подведете детей к тому, чтобы собачьи лапы они обозначили четырьмя штрихами. Таким образом, числа будут постепенно выводиться из самой жизни.

Хорошо, когда у учителя на все открыты глаза и на все он взирает с пониманием. Теперь совершенно естественным образом можно приступить к написанию так называемых римских цифр (для ребенка они являются чем-то само собой разумеющимся) и, взяв за образец кисть руки, перейти от римской IV к римской V. При этом детям нужно сказать: “Без большого пальца остальные пальцы все равно, что четыре лапы у собаки, а если прибавить большой палец, получается пять”.

Я однажды был свидетелем того, как одни учитель объяснял написание римских цифр, дошел до 4, но не мог взять в толк, почему римлянам вздумалось писать не 5 расположенных один возле другого штрихов, а использовать для написания числа 5 этот знак: “V”. До 5 у него все получалось отлично, тогда я сказал: “Давайте попробуем раздвинуть пальцы руки так, чтобы было два ряда. Смотрите, вот у нас и получилось: рука выглядит как римская V”.

Разумеется, в таком кратком курсе, как этот, возможно изложить лишь принцип. Выведя таким образом числа на самой жизни, мы, называя их по порядку, приступаем к счету. Но мы должны постараться сделать так, чтобы дети не отнеслись к этому равнодушно. Прежде чем ставить задачи вроде следующей, считайте по порядку от 1 до 9! Нужно какое-то время позаниматься с детьми ритмическим порядковым счетом. Например, мы переходим от 1 к 2: “Раз-два, раз-два, раз-два” — пусть дети делают: ударение на “два”. Затем мы переходим к 3: “раз-два-три, раз-два-три". Так мы вносим ритм в порядковый счет и развиваем ребенка способность объединять.

Общепринятое мнение заключается в том, что числа выдуманы благодаря последовательному присоединению одного К другому. Но это вовсе не так. Человек считает не головой. Люди даже не догадываются, каким бесполезным для земной жизни органом является голова. Она может иметь эстетическое значение, если вам нравится чье-то лицо. У нее есть некоторые другие достоинства, но что касается духовной деятельности, то в ней ее участие незначительно, ибо все духовное в голове заимствовано Из предыдущей земной жизни; голова являет собой метоморфизированную предыдущую земную жизнь. Для человека обладание головой действительный смысл имеет, собственно говоря, лишь в том случае, когда он что-либо знает о своей предыдущей земной жизни. Всем прочим мы обязаны вовсе не голове. На самом деле в нашем подсознании мы считаем по пальцам. На самом деле от 1 до 10 мы считаем по пальцам рук, а 11, 12, 13, 14 и далее — по пальцам ног. До 20, незаметно для нас самих, мы считаем именно так. То, что при этом происходит с нашим телом, отражаете в голове. Голова, так сказать, за всем наблюдает. Человеческая голова — это просто аппарат для отражения происходящего в теле. Тело мыслит, тело считает, а голова наблюдает.

Предположим, вы удобно расположились мчащемся автомобиле.

Вы, собственно говоря, ничего не делаете, напрягаться должен сидящий впереди шофер. Вы же удобно устроились и мчитесь вдаль. То же самое голова; устроившись на вашем теле, она предоставляет ему носить ее, а сама наблюдает. Все, относящееся к духовной жизни, делает тело. Мыслит и чувствует — тело. Применение в педагогике канцелярских счётов вызвано заблуждением, согласно которому человек считает с помощью головы. Ребенка учат выполнять вычисления на счётах, т.е. укрепляют его голову, которая, в свою очередь, укрепляет его тело, ведь считает все-таки тело. Правильным было бы учить детей считать по пальцам рук и ног; вообще, для детей полезно развитие всякого рода ловкости. Нет ничего лучше во всех отношениях ловкого человека! Посредством спорта ловкости как таковой не развить. Но можно развить ловкость у ребенка, например, следующим образом. Пусть он зажмет между двумя пальцами ноги карандаш и учится таким образом писать цифры. Это должно оказывать очень благотворное воздействие, ибо все тело человека пропитано душой, пропитано духом. Голова — это просто бездельный пассажир, а всю работу делает шофер: тело.

Так, подходя с различных сторон, можно способствовать развитию у детей навыка счета. Весьма важно, после того как некоторое время выполнялись записанные упражнения, перейти к тому, чтобы числа получались не только вследствие прибавления одного к другому, — это, так сказать, наименее важные числа, — но и иным путем. Вы говорите детям: “Вот целое. Разделим его по-полам — получилась двойка. Получилось не два находящихся ряд ом целых, но из единого целого получилась двойка. А теперь получилась тройка". У детей возникает представление о том, что целое заключает в себе всё: и двойку, и тройку, и четверку. При таком обучении числам дети воспринимают живые понятия, они переживают сущность числа.

Некогда в древности наши числа как понятия, получаемые вследствие того, что одну горошину кладут рядом с другими или на счетах одну косточку пододвигают к другим, были вообще не известны людям, но именно так и представляли себе: целое — это наибольшее, два — это разделенное пополам целое и тому подобное Вот путь к существу счета, если исходить из внешних вещей.

Развивая мышление, ребенку нужно всегда отправляться от внешнего, наглядного и по возможности избегать абстракций.

Постепенно дети до известного предела освоят числовой ряд, сначала до 20, потом до 100 и так далее. Процесс порядкового счета будет для них живым. Ребенок сначала должен учиться порядковому счету, не вычислять, а считать по порядку.

После обучения счету можно перейти к вычислениям. Процесс вычисления также должен быть живым. Живое — это всегда целое, и исходить следует из целого. Ребенку причиняется ущерб, если в ходе обучения ему всегда задают из частей составлять целое, так как у него не вырабатывается навык сначала видеть целое, а затем это целое расчленять. Давая ребенку целое, с тем чтобы он его расчленял, делил на части, вы предоставляете ему действовать в области живого.

Вот что следует иметь в виду при обучении счету. То, что это имеет большое значение для всей культуры, можно показать на следующем примере.

Приблизительно до XIII — XIV столетия не слишком ценилась способность воссоздавать целое из его частей. Строитель скорее руководствовался идеей целого, которое он расчленял на части, а не представлением о частях, из которых он должен возвести здание.

Составление из частей вошло в обыкновение лишь впоследствии. Постепенно люди стали представлять себе все состоящим из мельчайших частиц. Отсюда атомистическая теория в физике. Она явилась следствием воспитания. Наши досточтимые ученые не стали бы так говорить об этих крошечных карикатурах; демонов (ибо атомы суть карикатуры демонов), если бы полученное воспитание не приучило их все выстраивать из частей. Так возник атомизм. Сегодня мы критикуем его, однако не вполне заслуженно. Ведь люди не могут вдруг отказаться от превратного образа мыслей, к которому они за 4—5 столетий весьма привыкли.

Особенно непосредственное отношение это имеет к занятиям счетом. Глядя издали на лес, вы видите л ес в целом, Только подойдя ближе, начинаете различать отдельные деревья. То же самое — занимаясь счетом. Ведь у вас в кошельке лежит не одна, две, Три, четыре, пять, но горсть монет. Пять составляют целое. Или, скажем, когда вы варите гороховый суп, вы ведь не берете одну, две, три, четыре, пять, тридцать, сорок горошин, вы берете горсть. Или в корзине у вас лежат не одно, два, три, четыре, пять, шесть, семь и так далее яблок, у вас есть именно целая корзина яблок. Теперь с этой корзиной яблок мы приходим домой- Нас встречают три ребенка. Совсем не обязательно делить между ними яблоки поровну. Один ребенок маленький, другой большой. Большому мы дадим кучку поменьше. Яблоки в корзине мы разделим на 3 части.

Делить — всегда нелегкое дело! Вот мать дает сыну большой ломоть хлеба и говорит: “Возьми, Генрих, это тебе и сестренке, раздели по-христиански". Генрих спрашивает: “А что это значит, разделить по-христиански?" — “Это значит, ты должен разрезать хлеб на два куска: большой и поменьше. Большой дан сестре Анне, а себе оставь поменьше”. — “Нет, — говорит Генрих, лучше пусть Анна по-христиански разделит”.

Итак, одному ребенку мы дадим эту кучку (см. рис.), другому эту кучку, а третьему эту. Теперь сосчитаем все бывшие в корзине яблоки, ведь считать-то дети уже умеют. Всего 18 яблок. Сколько же мы дадим первому ребенку? Пять. Сколько дадим второму? Пять. А третьему сколько? Восемь.

Так, начав с целого, с корзины яблок, я получил три части.

Обычно учитель предлагает: Сложим их вместе, получится всего восемнадцать". Он предлагает по частям найти целое. Но таким образом дети имеют дело с мертвыми, а не с живыми понятиями. Нужно исходить из целого, из 18, делить его на слагаемые и так приходить к сложению.

Преподавая, исходите не из слагаемых, а из суммы, целого. Например, вы говорите: “А ведь можно поделить по-другому. Вот так...” Я взял другие слагаемые, а целое осталось неизменным. При таком подходе к сложению вы будете иметь дело с живыми, подвижными понятиями. Таким образом, в тех случаях, когда речь идет лишь о числе, целое будет неизменным, а слагаемые будут переменными величинами. Возможность по-разному группировать слагаемые при неизменной сумме будет обнаруживать себя наилучшим образом.

Затем вы меняете угол зрения и говорите: “Когда мы имеем дело не просто с числом, а с чем-то таким, что в самом себе содержит число, как, например, человек, то уже нельзя делить как угодно. Если взять туловище и то, что к нему прикреплено: голову, руки, ноги, то его нельзя разделить на части любым образом, вы не можете сказать: Ногу я отрежу так, а руку так, части тела определены природой.

Там, где мы имеем дело просто с числами, где природой ничего не предопределено, там мы можем разделять как угодно. Именно здесь заключена возможность того, чтобы жизнь влилась в процесс обучения. Какой бы то ни было педантизм улетучится, и обучению будет сопутствовать то, до чего дети чрезвычайно охочи: юмор, не дурашливый, а добротный и здоровый.

Это относится к обучению вообще: всегда исходить из целого. Предположим, вы берете ситуацию из жизни. Мамаша послала Марийку купить яблок. В лавке ей дали 25 яблок. Жена зеленщика записала это на бумажке, но домой Марийка принесла только десять яблок. Таковы обстоятельства жизни: в лавке ей дали 25 яблок, а домой она принесла только 10. Марийка — честная девочка и по дороге яблок не кушала, однако же домой принесла их только 10. Но вот тоже кто-то честный идет за ней следом и несет все те яблоки, которые она обронила. Встает вопрос: сколько же яблок он несет? Видно, как он подходит к дому. Хотелось бы заранее знать, сколько у нею яблок. Марийка принесла 10 яблок, а из полученной в лавке записки следует, что их дали 25. Значит, обронила она 15 яблок.

Итак, вы произвели вычисление, обычно это делается следующим образом: дается некоторое количество, из него нечто надо вычесть, в результате получается некий остаток. Но в жизни (в этом нетрудно убедиться) значительно чаще бывает так, что известно первоначальное количество и то, что осталось, а определить нужно сколько было потеряно или истрачено. Значит, чтобы соответствовать жизни, нужно исходить из уменьшаемого и остатка и вычислять величину вычитаемого; не искать остаток, исходя из уменьшаемого с вычитаемым. Так вы внесете в обучение жизнь.

Вас должна убедить в этом история с мамашей, Марийкой и тем, кто принес вычитаемое. Марийка потеряла вычитаемое от уменьшаемого, вот нам и интересно, сколько же яблок несет тот, кто идет за нею следом. Так вычитаемое наделяется подлинной жизнью. Когда спрашивают лишь “Сколько осталось”, в души детей вносится мертвое. Вы должны непрестанно заботиться о том, чтобы в души детей вносилось не мертвое, а живое.

В этом же духе вы можете преподавать и далее. При умножении вы можете поставить вопрос следующим образом: “Дано целое, т.е. произведение; как нам найти, сколько раз взяло нечто, что содержится в данном произведении?” Это будет соответствовать жизни. Подумайте, насколько мертво спрашивать следующим образом: “У меня есть несколько раз по три человека: три, еще три, еще раз три, и так далее — вот я и спрашиваю: “Сколько же у меня всего человек?” Это мертво, в этом вообще нет жизни.

Если я поступлю наоборот: возьму целое и спрошу, сколько групп определенной численности оно содержит, это будет соответствовать жизни. Я могу, например, сказать детям: “Вас в классе определенное число. Давайте сосчитаем. У нас получилось 45. Теперь я вызываю пятерых: один, два, три, четыре, пять, встаньте здесь рядом”. Я предлагаю детям посчитать, сколько раз по пять помещается в 45. Как видите, исходным снова является целое, а не его часть. Сколько еще таких групп по пять человек я могу составить? Оказывается, еще 8. Видите, я поступаю наоборот, исхожу из произведения и определяю, сколько раз в нем повторно множимое. Так я оживляю, делаю наглядным процесс вычисления, Это-то и важно: никогда не отступать от наглядности, иначе ребенок будет иметь дело с интеллектуальными абстракциями, и мы причиним ущерб всему его существу. Мы высушим его, мы вызовем у него, — у нас еще будет идти речь о духовно-душевно-физическом воспитании, — высыхание, в том числе в физическом теле, склероз.

Кроме того, если дети правильно учатся считать, то, став пожилыми людьми, они сохраняют подвижность и ловкость. Если, вводя порядковый счет, вы используете тело и считаете по пальцам рук: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять — и далее по пальцам ног, то для детей по истине было бы очень благотворно привыкнуть считать до двадцати именно по пальцам рук и ног. Если вы будете учить детей именно так, то вы увидите, что благодаря такой детской медитации, — ибо тот, кто считает по пальцам рук и ног, должен о них думать, а это является медитацией над своим собственным телом, здоровой медитацией - в тело вносится жизнь. Благодаря этому и в пожилом возрасте конечности остаются ловкими, они укрепляются, когда в обучении счету участвует весь организм. Если ребенок мыслит лишь при помощи головы, а не при помощи конечностей и всего организма, впоследствии у него развивается подагра.

Я хотел бы на одном примере показать, как воспитание и обучение должны основываться на наглядности (однако же не на том, что обычно называют “наглядным преподаванием”). Это хорошо всем известная теорема Пифагора, которую вы, будучи учителями, вероятно, уже подробным образом рассматривали и которую мы тем не менее сегодня еще раз обсудим. Видите ли, теорему Пифагора действительно можно ставить себе как цель в преподавании геометрии. Тогда обучение строится таким образом, чтобы его венчала теорема Пифагора, гласящая, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Это грандиозная картина (если уметь правильно видеть).

Как-то мне довелось одной немолодой уже даме, следуя ее горячему желанию, преподавать геометрию. Не знаю уж, в том ли было дело, что она все забыла, но, возможно, она, мало чему научилась в своем девичьем институте, во всяком случае в геометрии она ровным счетом ничего не смыслила. Мы начали с азов и дошли до теоремы Пифагора, в которой для нее заключалось нечто необыкновенно поразительное. Люди вообще-то привыкли к этому поразительному. Однако, не правда ли, достаточно попросту понять следующее: если нам дан прямоугольный треугольник (Р. Штайнер чертит мелом на доске) и поверхности, которые в виде квадратов строятся по сторонам, то сумма поверхностей, построенных на катетах, равна поверхности, построенной на гипотенузе.

Стало быть, если я сажаю картофель и делаю это равномерно, то на двух меньших полях вместе я посажу столько же картофеля, с колько на большем поле. Это нечто поразительное, совершенно поразительное, при непосредственном взгляде это вовсе не представляется очевидным.

И вот как раз то, что это не очевидно, что это так удивительно, нужно при обучении использовать для витализации душевных процессов. Лейтмотивом должно быть то, что, хотя мы здесь имеем дело с чем-то вовсе не очевидным, с этим так или иначе приходится согласиться. Можно было бы сказать: теореме Пифагора приходится верить, но эта вера тут же снова утрачивается.

Приходится каждый раз заново уверять себя в том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов обоих катетов.

Доказывать ее можно различными способами, важно, чтобы доказательство было предельно наглядным. Особенно легко наглядность достигается, когда треугольник равнобедренный. Итак, нам дан равнобедренный прямоугольный треугольник (Р.Штайнер чертит мелом на доске).

То, что я закрашиваю оранжевым мелом (1, 2, 3, 4),— это квадрат гипотенузы. Синим мелом я закрашиваю квадраты катетов (2, 5; 4, 6).

Сажая равномерно на синих полях картофель, я посажу его столько же, сколько и на оранжевом поле.

Вот простейшее доказательство. Две частит синих квадратов принадлежат квадрату гипотенузы, они находятся внутри его. Эту часть ( 5) мы можем поместить сюда (на 3), а эту часть (6) поместим сюда (на 1). Таким образом с прямоугольным равнобедренным треугольником это получается совершенно наглядным. Возьмем теперь неравнобедренный треугольник (как на фигуре 1).

Начертим его еще раз (фигура 3: ABC). Построим на гипотенузе квадрат ABDE. Далее ABC вы можете воспроизвести здесь: BDF. Затем ABC или, что то же самое, BDF вы еще раз строите здесь: АС. Благодаря тому, что вы воспроизводите этот треугольник здесь еще раз, вы получаете возможность построить квадрат меньшего катета DACH (красный).

Вы видите, что здесь я могу построить еще один треугольник: DEJ. Теперь у нас также имеется квадрат большего катета: DJHF (зеленый). Квадрат гипотенузы я обведу фиолетовым: ABDE

Итак, красный (1, 2) и зеленый (3. 4. 5) вместе равны фиолетовому (2, 4. 6. 7).

Таким образом, фиолетовый квадрат содержит в себе часть красного квадрата (2) и часть зеленого (4). Вне фиолетового осталась часть красного (1) и 2 части зеленого (3, 5).

Теперь разместим это оставшееся вне фиолетового. Этим треугольником (5) можно покрыть вот этот (6). Эту поверхность (1, 3) можно точно поместить вот сюда (7). Конечно, можно было бы показать это корректнее, но я надеюсь, что все было представлено достаточно ясно. Посредством такого наложения поверхностей, когда вместо черчения применяется вырезание, становится очень наглядным, но если спустя некоторое время вы решите обдумать сделанное, окажется, что прежняя убедительность уже утрачена и нужно снова начинать сначала и проделывать все по порядку. Образ не удерживается в памяти, и приходится выстраивать все заново. Это-то и хорошо. Это соответствует теореме Пифагора. К ней каждый раз следует приступать заново. Рассмотренное каждый раз сбывается. Это — поразительное в теореме Пифагора. Это то, что вносит в нее жизнь. Вы убедитесъ в этом, задавая ученикам снова и снова доказывать ее, и они снова к снова будут испытывать затруднения, каждый раз им придется заново думать, и это соответствует живой природе теоремы Пифагора. Нехорошо доказывать ее так, чтобы она выглядела тривиально, хорошо, если каждый раз она снова забывается, и все приходится делать заново.

С 11—12-летними детьми в геометрии можно продвинуться настолько далеко, что им будет понятно основанное на сравнении поверхностей объяснение теоремы Пифагора. Прослеживая ход доказательства, дети испытают необыкновенную радость, они станут усердными. Они с удовольствием будут выполнять это снова и снова, особенно если это будет сопровождаться разрезанием фигуры на части. Только пара шалопаев-учеников сразу же все запомнят и смогут без труда всякий раз проделывать то же самое. Большинство же детей при разрезании всякий раз будут испытывать затруднения и сомнения. Это соответствует заключенному в теореме Пифагора чуду, с которым не следует расставаться.