4.7 Дробный факторный эксперимент

Количество опытов в полном факторном эксперименте значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели. Другими словами, полный факторный эксперимент обладает большой избыточностью опытов. Было бы заманчивым сократить их число за счет той информации, которая не очень существенна при построении линейных моделей. При этом нужно стремиться, чтобы матрица планирования не лишилась своих оптимальных свойств. Сделать это не так просто, но все же возможно. Итак, начнем поиск путей минимизации опытов.

4.7.1 Минимизация числа опытов.

Начнем с самого простого – полного факторного эксперимента 2². Напишем еще раз эту хорошо нам известную матрицу

Номер опыта	х0	х1	х2	х1х2	у
1	+1	–1	–1	+1	у1
2	+1	+1	–1	–1	у2
3	+1	–1	+1	–1	у3
4	+1	+1	+1	+1	у4

Пользуясь таким планированием, можно вычислить четыре коэффициента и представить результаты эксперимента в виде неполного квадратного уравнения

у = b₀х₀ + b₁ x₁ + b₂ x₂ + b₁₂х₁х₂.

Если имеются основания считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента: b₀, b₁, b₂. Остается одна степень свободы. Употребим ее для минимизации числа опытов. При линейном приближении b₁₂→0 и вектор-столбец х₁х₂ можно использовать для нового фактора х₃. Поставим этот фактор в скобках над взаимодействием х₁х₂ и посмотрим, каковы будут оценки коэффициентов. Здесь уже не будет тех раздельных оценок, которые мы имели в полном факторном эксперименте 2^к. Оценки смешаются следующим образом:

- b₁→β₁+β₂₃;

- b₂→β₂+β₁₃;

- b₃→β₃+β₁₂.

Но нас это не должно огорчать. Ведь мы постулируем линейную модель, и, следовательно, все парные взаимодействия незначимы. Главное, мы нашли средство минимизировать число опытов: вместо восьми опытов для изучения трех факторов оказывается можно поставить четыре. При этом матрица планирования не теряет своих оптимальных свойств (ортогональность, ротатабельность и т.п.), в чем вы можете самостоятельно убедиться. Найденное правило можно сформулировать так: чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца.

Посмотрите, пожалуйста, на три матрицы, приведенные ниже. Эти матрицы предлагаются взамен полного факторного эксперимента 2³, требующего, как вы знаете, восьми опытов.

Каким бы из них вы воспользовались?

Таблица 4.8 – Матрица 1

Номер опыта	х0	х1	х2	х3	у
1	+1	–1	–1	+1	у1
2	+1	+1	+1	–1	у2
3	+1	–1	+1	–1	у3
4	+1	+1	–1	+1	у4

Таблица 4.9 – Матрица 2

Номер опыта	х0	х1	х2	х3	у
1	+1	–1	–1	+1	у1
2	+1	+1	+1	+1	у2
3	+1	–1	+1	–1	у3

Таблица 4.10 – Матрица 3

Номер опыта	х0	х1	х2	х3	у
1	+1	–1	–1	+1	у1
2	+1	+1	+1	+1	у2
3	+1	–1	+1	–1	у3
4	+1	+1	–1	–1	у4

Проверим свойства матрицы № 1. Каждый вектор-столбец матрицы, кроме первого, содержит равное число +1 и –1. Это означает, что выполняется условие симметричности формула (4.14) _.

Теперь перемножим каждую пару вектор-столбцов и посмотрим, будет ли сумма произведений равна 0. К сожалению , т.е. совершена какая-то ошибка в выборе матрицы. Постараемся ее найти. Вектор-столбцы для х₁ и х₂ не вызывают сомнения. Ведь эта часть матрицы – полный факторный эксперимент 2². А как построен вектор-столбец для х₃? Элементы этого столбца обратны по знаку элементам соседнего столбца х₂. Два этих столбца оказались взаимосвязанными: х₃ = –х₂. При этом b₃→β₃–β₂ и b₂→β₂–β₃. В таком планировании не могут быть раздельно оценены основные эффекты. Значит, мы потеряли информацию о двух линейных коэффициентах нашей модели. Таким планированием воспользоваться невозможно.

Матрица № 2 содержит всего три опыта. Три опыта недостаточны для оценки четырех коэффициентов: b₀, b₁, b₂ и b₃. Кроме того, ни одно из свойств, присущих полному факторному эксперименту, здесь не выполняется, за исключением нормировки. Матрица № 3 сохраняет все свойства полного факторного эксперимента. Она дает возможность оценить свободный член b₀ и три коэффициента при линейных членах, потому что для х₃ использован вектор-столбец х₁х₂ полного факторного эксперимента 2².

Если мы в дополнение к столбцам матрицы № 3 вычислим еще столбцы для произведений х₁х₃ и х₂х₃, то увидим, что элементы столбца х₁х₃ совпадут с элементами столбца х₂ а элементы столбца х₂х₃ – с элементами столбца x₁. Найденные нами коэффициенты будут оценками для совместных эффектов b₁→β₁+β₂₃; b₂→β₂+β₁₃; b₃→β₃+β₁₂.

Такое планирование нас вполне устраивает. Мы смешали эффекты взаимодействия с основными эффектами. (Но все основные эффекты оцениваются раздельно друг от друга) Так как постулируется линейная модель, то предполагается, что эффекты взаимодействия близки к нулю, и поэтому b₁≈β₁; b₂≈β₂; b₃≈β₃.

Мы рассмотрели самый простой случай: матрицу из четырех опытов для трехфакторного планирования. С увеличением числа факторов вопрос о минимизации числа опытов превращается в довольно сложную задачу. Рассмотрим ее детально. При этом нам не обойтись без новых определений и понятий.

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, мы воспользовались половиной полного факторного эксперимента 2³, или «полурепликой». Если бы мы х₃ приравняли к –х₁х₂, то получили бы вторую половину матрицы 2³. В этом случае: b₁→β₁–β₂₃; b₂→β₂–β₁₃; b₃→β₃–β₁₂. При реализации обеих полуреплик можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия, как и в полном факторном эксперименте 2³.

Объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный эксперимент 2³.

Матрица из восьми опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от полного факторного эксперимента 2⁴, а для пятифакторного планирования – четверть-репликой от 2⁵. В последнем случае два линейных эффекта приравниваются к эффектам взаимодействия. Для обозначения дробных реплик, в которых р линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением 2^k–p. Так, полуреплика от 2⁶ запишется в виде 2^6–1, а четверть-реплика от 2⁵ – в виде 2^5–2.

4.7.2 Дробная реплика.

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, мы воспользовались половиной полного факторного эксперимента 2³ или «полурепликой». Если бы мы х3 приравняли к –x1x2, то получили бы вторую половину матрицы 23. В этом случае, b₁→ β₁-β₂₃, b₂→ β₂-β₁₃, b₃→ β₃-β₁₂ .

При реализации обеих полуреплик можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия, как и в полном факторном эксперименте 2³. Объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный эксперимент 2³. Матрица из восьми опытов для четырех факторного планирования будет полурепликой от полного факторного эксперимента 2⁴, а для пятифакторного планирования – четверть-репликой от 2⁵. В последнем случае два линейных эффекта приравниваются к эффектам взаимодействия. Для обозначения дробных реплик, в которых p линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением 2^k-p. Так, полуреплика от 2³ запишется в виде 2^3-1 а четвертьреплика от 2⁵ – в виде 2^5-2.

Таблица 4.11 - Характеристика дробных реплик

Число факторов	Дробная реплика	Условное обознач.	Число опытов
			для дробных реплик	для полного факторного эксперим.
3	1/2 – реплика от 23	23–1	4	8
4	1/2 – реплика от 24	24–1	8	16
5	1/4 – реплика от 23	25–2	8	32
6	1/8 – реплика от 25	26–3	8	64
7	1/16 – реплика от 26	27–4	8	128
5	1/2 – реплика от 25	25–1	16	32
6	1/4 – реплика от 26	26–2	16	64
7	1/8 – реплика от 27	27–3	16	128
8	1/16– реплика от 28	28–4	16	256
9	1/32-реплика от 29	29–5	16	512
10	1/64-реплика от 210	210–6	16	1024
11	1/128-реплика от 211	211–7	16	2048
12	1/256-реплика от 212	212–8	16	4096
13	1/512-реплика от 213	213–9	16	8192
14	1/1024-реплика от 214	214–10	16	16384
15	1/2048-реплика от 215	215–11	16	32768

4.7.3 Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты.

При построении полуреплики 2^3-1 существует всего две возможности: приравнять х₃ к +x₁x₂ или к – x₁x₂. Поэтому есть только две полуреплики 2^3-1.

Таблица 4.12 - Построение полуреплики 2^3-1

Номер опыта	I: x3=x1x2				II: x3=–x1x2
	x1	x2	x3	x1x2x3	x1	x2	x3	–x1x2x3
1	–1	–1	+1	+1	–1	–1	-1	–1
2	+1	–1	–1	+1	+1	–1	+1	–1
3	–1	+1	–1	+1	–1	+1	+1	–1
4	+1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	–1

Для произведения трех столбцов матрицы I выполняется соотношение: +l=x₁x₂x₃, а матрицы II: –1= x₁x₂x₃. Вы видите, что все знаки столбцов произведений одинаковы и в первом случае равны плюс единице, а во втором – минус единице.

Символическое обозначение произведения столбцов, равного +1 или –1, называется определяющим контрастом. Контраст помогает определять смешанные эффекты. Чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, для первой полуреплики определяющий контраст 1=x₁x₂x₃, помогает вычислить генерирующие соотношения: x₁=x₁²x₂x₃, так как x_j²=1, получим x₁=x₂x₃, аналогично x₂= x₁x₂²x₃=x₁x₃ и x₃= x₁x₂x₃²=x₁x₂.

Для второй полуреплики с помощью определяющего контраста –1=x₁x₂x₃ будем иметь другие генерирующие соотношения: x₁=–x₁²x₂x₃=–x₂x₃; x₂=–x₁x₂²x₃=–x₁x₃; x₃=–x₁x₂x₃²=–x₁x₂.

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением.

Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III (по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте). Такие планы принято обозначать: .

При выборе полуреплики 2^4–1 возможно восемь решений:

1. x₄= x₁x₂

2. x₄= –x₁x₂

3. x₄= x₂x₃

4. x₄= –x₂x₃

5. x₄= x₁x₃

6. x₄= –x₁x₃

7. x₄= x₁x₂x₃

8. x₄= –x₁x₂x₃

Разрешающая способность этих полуреплик различна. Так, реплики 1–6 имеют по три фактора в определяющем контрасте, а 7–8 по четыре. Реплики 7 и 8 имеют максимальную разрешающую способность и называются главными. Разрешающая способность задается системой смешивания данной реплики. Она будет максимальной, если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка.

При отсутствии априорной информации об эффектах взаимодействия экспериментатор стремится выбрать реплику с наибольшей разрешающей способностью, так как тройные взаимодействия обычно менее важны, чем парные. Если существует информация об эффектах взаимодействия, то она должна использоваться при выборе реплики.

Реплики, в которых нет ни одного главного эффекта, смешанного с другим главным эффектом или парным взаимодействием, а все парные взаимодействия смешаны друг с другом, носят название планов с разрешающей способностью IV (по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте). Они имеют обозначение . Полуреплика, заданная определяющим контрастом l=+x₁x₂x₃x₄, имеет только четные комбинации букв в каждой строке. Ее можно записать следующим образом, считая строку (1) четной:

(1), ad, bd, ab, ас, cd, bс, abсd.

А полуреплика, заданная 1 = – x₁x₂x₃x₄ имеет только нечетные комбинации а, b, с, d, abd, acd, abc, bcd.

Такие полуреплики называют главными полурепликами, так как они обладают наибольшей разрешающей способностью.

Пусть выбраны полуреплики, заданные определяющими контрастами l=+x₁x₂x₃x₄ и 1 = – x₁x₂x₃x₄. Совместные оценки здесь определяются соотношениями:

1. x₁= x₂x₃x₄ x₁= –x₂x₃x₄

2. x₂= x₁x₃x₄ x₂= –x₁x₃x₄

3. x₃= x₁x₂x₄ x₃= –x₁x₂x₄

4. x₄= x₁x₂x₃ x₄= –x₁x₂x₃

5. x₁x₂= x₃x₄ x₁x₂= –x₃x₄

6. x₁x₃= x₂x₄ x₁x₃= –x₂x₄

7. x₁x₄= x₂x₃ x₁x₄= –x₂x₃

Такой тип смешивания даст возможность оценивать линейные эффекты совместно с эффектами взаимодействий второго порядка, а взаимодействия первого порядка – совместно друг с другом.

Если полуреплики заданы генерирующими соотношениями x₄= x₁x₂ и x₄= –x₁x₂, то в этом случае определяющими контрастами являются 1=x₁x₂x₄ и 1 = – x₁x₂x₄, следовательно, мы получаем планы с разрешающей способностью III и некоторые основные эффекты смешиваем с парными взаимодействиями:

1. x₁= x₂x₄; x₁= –x₂x₄

2. x₂= x₁x₄; x₂= –x₁x₄

3. x₃= x₁x₂x₃x₄; x₃= –x₁x₂x₃x₄

4. x₄= x₁x₂; x₄= –x₁x₂

5. x₂x₃= x₁x₃x₄ ; x₂x₃= –x₁x₃x₄

6. x₁x₃= x₂x₃x₄ ; x₁x₃= –x₂x₃x₄

7. x₃x₄= x₁x₂x₃; x₃x₄= –x₁x₂x₃

Разрешающая способность этих полуреплик ниже, чем у планов с разрешающей способностью IV, с помощью которых линейные эффекты определяются независимо от парных взаимодействий.

Эти полуреплики имеют в каждой строке как четные, так и нечетные комбинации букв. Такие полуреплики не являются главными. Разумен выбор такой полуреплики, если имеется априорная информация о большей значимости тройных взаимодействий по сравнению с парными или о незначимости трех парных взаимодействий x₂x₄, x₁x₄, х₁х₂.

Как видите, выбор дробной реплики требует много терпенья и труда. Но другого пути нет. Применяя дробное планирование, нужно точно знать систему смешивания, четко представлять, какую информацию приходится терять.

Поговорим теперь о полурепляке 2^5–1.

При выборе полуреплики 2^5–1 в распоряжении экспериментатора имеется множество вариантов. Так, х₅ можно приравнять к одному из шести парных взаимодействий. В этом случае получим полуреплику с разрешающей способностью III. Очевидно, это будет не лучший выбор полуреплики. Далее, х₅ можно приравнять к одному из четырех тройных взаимодействий. Тогда получим план с разрешающей способностью IV, и все линейные эффекты будут смешаны с тройными взаимодействиями. И, наконец, полуреплика может быть задана генерирующими соотношениями x₅=+x₁x₂x₃x₄ или x₅=–x₁x₂x₃x₄. Определяющими контрастами в этом случае будут 1=+x₁x₂x₃x₄x₅ и 1=–x₁x₂x₃x₄x₅. Такие реплики носят название планов с разрешающей способностью V и обозначаются . В таких планах линейные эффекты смешаны со взаимодействиями третьего порядка, а взаимодействия первого порядка – с взаимодействиями второго порядка

4.7.4. Выбор 1/4-реплик.

При исследовании влияния пяти факторов можно поставить не 16 опытов, как в предыдущем примере, а только 8, т.е. воспользоваться репликой 2^5–2. Здесь возможны двенадцать решений, если x₄ приравнять парному взаимодействию, а х₅ – тройному:

1. x₄= x₁x₂ x₅= x₁x₂x₃

2. x₄= x₁x₂ x₅= –x₁x₂x₃

3. x₄= –x₁x₂ x₅= x₁x₂x₃

4. x₄= –x₁x₂ x₅= –x₁x₂x₃

5. x₄= x₁x₃ x₅= x₁x₂x₃

6. x₄= x₁x₃ x₅= –x₁x₂x₃

7. x₄= –x₁x₃ x₅= x₁x₂x₃

8. x₄= –x₁x₃ x₅= –x₁x₂x₃

9. x₄= x₂x₃ x₅= x₁x₂x₃

10. x₄= x₂x₃ x₅= –x₁x₂x₃

11. x₄= –x₂x₃ x₅= x₁x₂x₃

12. –x₄= x₂x₃ x₅= –x₁x₂x₃

Допустим, выбран пятый вариант: x₄= x₁x₃ и x₅= x₁x₂x₃. Тогда определяющими контрастами являются: l=x₁x₃x₄ и 1=x₁x₂x₃x₅.

Если перемножить эти определяющие контрасты, то получится третье соотношение, задающее элементы столбца 1=x₂x₄x₅. Чтобы полностью охарактеризовать разрешающую способность реплики, необходимо записать обобщающий определяющий контраст 1 = x₁x₃x₄=x₂x₄x₅=x₁x₂x₃x₅

Система смешивания определяется умножением обобщающего определяющего контраста последовательно на х₁, х₂, х₃ и т. д.

x₁= x₃x₄= x₁x₂x₄x₅= x₂x₃x₅

x₂ = x₁x₂x₃x₄= x₄x₅= x₁x₃x₅

x₃= x₁x₄= x₂x₃x₄x₅= x₁x₂x₅

x₄= x₁x₃= x₂x₅= x₁x₂x₃x₄x₅

x₅= x₁x₃x₄x₅= x₂x₄= x₁x₂x₃

x₁x₂= x₂x₃x₄= x₁x₄x₅= x₃x₅

x₁x₅= x₃x₄x₅= x₁x₂x₄= x₂x₃

Получается довольно сложная система смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия первого, второго, третьего и четвертого порядков. Если, например, коэффициенты b₁₂ и b₁₅ отличны от нуля, то возникают сомнения, можно ли пренебрегать другими парными взаимодействиями, с которыми смешаны линейные эффекты. Тогда следует поставить вторую серию опытов, выбрав нужным образом другую 1/4-реплику.

При этом можно воспользоваться методом «перевала». Смысл этого метода заключается в том, что вторая четверть-реплика получается из первой путем изменения всех знаков матрицы на обратные. Тогда в обобщающем определяющем контрасте тройные произведения имеют знак, противоположный их знаку в первой четверть-реплике. Тройные произведения определяют парные взаимодействия в совместных оценках для линейных эффектов. Усредняя результаты обеих четверть-реплик, можно получить линейные эффекты, не смешанные с парными взаимодействиями.

Для дополнения 1/4-реплики до 1/2-реплики, если есть подозрения, что эффекты взаимодействия первого порядка отличаются от нуля, нужно взять вторую четверть-реплику с обобщающим контрастом, в котором два тройных произведения имеют отрицательный знак, так как тройные произведения определяют парные взаимодействия в совместных оценках для линейных эффектов.

Однако можно представить себе и такой случай, когда целесообразно освободить линейные эффекты от эффектов взаимодействия второго порядка и только часть из линейных эффектов от парных взаимодействий. Тогда нужно выбрать 1/4-реплику таким образом, чтобы в обобщающем определяющем контрасте произведение четырех членов имело отрицательный знак, так как это произведение определяет тройные взаимодействия в совместных оценках для линейных эффектов.