18. Прямые линии и точки, лежащие на плоскости.
Прямая лежит на плоскости, если 2 ее точки принадлежат этой плоскости
Если точка принадлежит плоскости, то она может принадлежать любой прямой принадлежащей этой плоскости, проходящей через заданную точку.
19. Главные линии плоскости:
1. горизонтали – прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций p1. Фронтальная и профильная проекции горизонтали горизонтальны. (На рисунке показаны горизонтальная и фронтальная проекции);
2. фронтали – прямые, расположенные в данной плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций p2.
3. профильные прямые – прямые, расположенные в данной плоскости и параллельные профильной плоскости проекций p3.
4. линии наибольшего ската – прямые, проведенные по плоскости перпендикулярно к горизонталям
20. Взаимное расположение двух плоскостей.
Две плоскости в пространстве могут совпадать. В этом случае они имеют, по крайней мере, три общие точки.
Две плоскости в пространстве могут пересекаться. Пересечением двух плоскостей является прямая линия, что устанавливается аксиомой: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае возникает понятие угла между пересекающимися плоскостями. Отдельный интерес представляет случай, когда угол между плоскостями равен девяноста градусам. Такие плоскости называют перпендикулярными. О них мы поговорили в статье перпендикулярность плоскостей.
Наконец, две плоскости в пространстве могут быть параллельными, то есть, не иметь общих точек. Рекомендуем ознакомиться со статьей параллельность плоскостей, чтобы получить полное представление об этом варианте взаимного расположения плоскостей.
Также интересны случаи, когда несколько плоскостей пересекаются по одной прямой и несколько плоскостей пересекаются в одной точке. О таком взаимном расположении плоскостей смотрите статьи пучок плоскостей и связка плоскостей.
Признаки параллельности плоскостей:
1) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
2) Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
21. Взаимное расположение прямой и плоскости.
1. Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек.
2. Прямая пересекает плоскость, если она имеет с плоскостью ровно одну общую точку.
3. Прямая лежит в плоскости, если каждая точка прямой принадлежит этой плоскости.
22. Аналитическое решение задачи о пересечении прямой и плоскости, видимости прямой.
Первый этап: ”Вычисление коэффициентов плоскости”.
Коэффициенты плоскости вычисляются с помощью метода Ньюэла следующим образом:
A=(YA-YB)*(ZA+ZB)+(YB-YC)*(ZB+ZC)+(YC-YA)*(ZC+ZA);
B=(ZA-ZB)*(XA+XB)+(ZB-ZC)*(XB+XC)+(ZC-ZA)*(XC+XA);
C=(XA-XB)*(YA+YB)+(XB-XC)*(YB+YC)+(XC-XA)*(YC+YA);
D=-(A*XA+B*YA+C*ZA),
где A, B, C, D – коэффициенты плоскости; (XA, YA,ZA), (XB,YB,ZB) и (XC,YC,ZC) точки принадлежащие данной плоскости.
Второй этап: “Нахождение точки пересечения плоскости и прямой”.
if((A*(XM - XN) + B*(YM - YN) + C*(ZM - ZN))!=0)
{
t=(float)(A*XM + B*YM + C*ZM + D)/(float)(A*(XM - XN) + B*(YM - YN) + C*(ZM - ZN));
};
if (t>=0 && t<=1)
{
XT =XM + (float)(XN - XM)*t;
YT =YM + (float)(YN - YM)*t;
ZT =ZM + (float)(ZN - ZM)*t;
}
где t –это параметр; (XT,YT,ZT) – точка пересечения прямой и плоскости.
Третий этап: ” Определение видимости отрезка”.
if(B<0)
{
A=-A;
B=-B;
C=-C;
D=-D;
}
if((A*XM + B*YM + C*ZM +D)>0)
{
visiblm = true;
}
else if((A*XM + B*YM + C*ZM +D)<0)
{
visiblm = false;
};
if((A*XN + B*YN + C*ZN +D)>0)
{
visibln = true;
}
else if((A*XN + B*YN + C*ZN +D)<0)
{
visibln = false;
}
else if((A==0 && B==0 && C==0)||((A*(XM - XN) + B*(YM - YN) + C*(ZM - ZN))==0)||abs(B)<delta)
{
visibln = true;
visiblm = true;
}