23. Многогранники. Основные понятия. Образование поверхностей некоторых многогранников.
Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника. Совокупность всех граней многогранника называется его поверхностью. Образование поверхностей некоторых многогранников подчинено определенным законам. Так, боковая поверхность призм (призматическая поверхность) образуется при таком движении прямой а – образующей - по ломанной направляющей n,причем прямая а остается во время движения параллельной самой себе. (рис. 1)
Боковая поверхность пирамид (пирамидальная поверхность) получается при движении прямолинейной образующей a, проходящей через фиксированную точку S, по направляющей n. (рис. 1).
Рис.1
Фактически, призматическая поверхность – частный случай пирамидальной поверхности, когда точка S удалена в бесконечность. В тех предельных случаях, когда направляющая ломанная становится криволинейной, призматическая поверхность превращается в цилиндрическую, а пирамидальная – в коническую.
24. Проекции многогранников. Видимость ребер.
Построение проекций многогранника начинают с изображения всех его вершин. Соединив соответствующим образом одноименные проекции вершин, получают проекции ребер и граней многогранника. При этом принято считать, что грани многогранника не прозрачные и поэтому отдельные ребра невидимы и изображаются пунктирной линией.
Рис. 3. Определение видимости ребер тетраэдра на комплексном чертеже: а – относительно горизонтальной плоскости проекций; б – относительно фронтальной плоскости проекций
Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций нужно найти точки, конкурирующие относительно П1 (рис. 3, а). Ребра SA, SC, AB и BC являются очерковыми, следовательно, видимыми. Остается выяснить видимость ребер AC и SB. Точки 1∈SB и 2∈AC являются конкурирующими на П1, поскольку находятся на проецирующем луче. Фронтальная проекция точки 1 лежит выше (высота точки 1 больше), поэтому она видима на П1, следовательно, видимо и ребро SB, а ребро AC невидимо. Если хотя бы одно ребро грани невидимо, вся грань ABC невидима на П1.
Видимость на фронтальной проекции (рис. 3, б) определяется с помощью конкурирующих точек 3∈SC и 4∈AB. Горизонтальная проекция точки 3 лежит ниже (глубина точки 3 больше), следовательно, точка 3 и ребро SC на фронтальной плоскости проекции видимы, а точка 4, ребро AB и грань ASB невидимы на П2.
25. Пересечение многогранников плоскостью и прямой.
Пересечение многогранника плоскостью, если таковое имеется, представляет собой замкнутые фигуры, вершины и стороны которых определяются пересечением заданной плоскости соответственно с ребрами и гранями данного многогранника и называются плоскими сечениями. Таким образом, для построения сечений находят или точки пересечения ребер с заданной плоскостью или строят прямые по которым плоскость пересекается с гранями многогранника.
Первый способ называют способом ребер, и он базируется на задаче пересечения прямой с плоскостью. Второй называется методом граней, он основывается на задаче пересечения двух плоскостей.
Построение сечений значительно упрощается, если данная плоскость является проецирующей.
В результате пересечения многогранника с плоскостью получается ломаная линия. Вершины этой ломаной линии определяются на пересечении ребер многогранника и плоскости. Рассмотрим построение линии пересечения пирамиды с фронтально-проецирующей плоскостью (рис. 4.). Линия пересечения на фронтальной плоскости проекций определена и проходит через точки 12, 22, 32 и 32`. Для построения второй горизонтальной проекции линии пересечения строим вторые проекции обозначенных точек, являющихся вершинами искомой ломанной, а затем последовательно их соединяем.
Рисунок 4. Построение линии пересечения пирамиды и проецирующей плоскости.
Рисунок 5. Наглядное изображение пересечения пирамиды и плоскости.
Задача определения точек пересечения прямой с поверхностью многогранника решается аналогично задаче нахождения точки пересечения прямой и плоскости, и в данном случае решение распадается на следующие 3 этапа:
Через данную прямую проводим вспомогательную плоскость (проецирующую).
Строим сечение многогранника проецирующей плоскостью.
Определяем точки пересечения прямой с полученным на втором шаге контуром сечения.
Для определения точек пересечения прямой линии с многогранником, задача сводится к нахождению точек пересечения прямой с плоскостями граней.