Справочный материал к выполнению контрольной работы
1. Основные понятия о числовых рядах и определения.
Числовой
последовательностью
называется упорядоченный набор
нумерованных чисел
,
представляющая собой функцию
,
(1)
заданную на
множестве натуральных чисел. Числа
называются соответственно первым,
вторым и так далее членами
последовательности.
Число
,
задаваемое формулой (1), называется общим
членом последовательности.
В последовательностях и рядах широко используется функция натурального аргумента
,
представляющая
собой произведение первых
натуральных чисел. Обозначение
читается как «эн факториал».
Пусть u1, u2, u3,…, un,…, где un = f(n) , - бесконечная числовая последовательность. Тогда выражение
-
(2)
называется числовым рядом.
Числа
называются
членами ряда.
При этом
-
,
называется общим членом ряда. Ряд считается заданным, если задана формула для . Нумерация членов ряда, вообще говоря, может начинаться с любого целого числа.
Сумму первых членов ряда по n-ный включительно обозначают Sn и называют n-ной частичной суммой ряда, т.е.
Сумму остальных
слагаемых, начиная с
-го,
называют n-ным
остатком числового ряда и обозначают
,
т.е.
Согласно определению (2), остаток числового ряда можно рассматривать как самостоятельный числовой ряд.
Предел
последовательности
частичных
сумм при
,
если он существует, называется суммой
ряда и
обозначается буквой S
, т.е.
-
.
Если
существует, т.е. если сумма S
есть конечное число, то говорят, что
ряд (2) сходится.
В противном случае говорят, что ряд (2)
расходится.
Частный случай числового ряда – геометрический ряд, представляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии:
-
.
Его частичная сумма:
-
.
При
этом если
,
то геометрическая прогрессия называется
бесконечно убывающей, и геометрический
ряд имеет конечную сумму
-
.
В случаях, когда
,
геометрический ряд расходится, т.е.
конечной суммы не имеет.
2. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости.
Свойство 1.
Если сходится ряд
-
,(3)
то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа его членов. Наоборот, если сходится ряд, полученный из данного путем отбрасывания конечного числа его членов, то сходится и данный ряд.
В частном случае, когда речь идет об отбрасывании первых членов ряда, свойство можно сформулировать так: если сходится ряд (3), то сходится и ряд
-
,
и наоборот (m – конечное число первых отброшенных членов).
В более широком смысле данное свойство можно сформулировать следующим образом: отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.
Свойство 2.
Если сходится ряд
и его сумма равна
,
то сходится и ряд
,
где a
– некоторое число, и сумма его равна
.
Свойство 3.
Если сходятся ряды
и
,
и их суммы равны
соответственно
и
,
то сходится и ряд
,
и сумма его равна
.
Необходимый признак сходимости.
Если ряд
сходится, то его
общий член
при
стремится к нулю, т.е.
.