10. Ряды Фурье.
Функциональный ряд вида
(19)
называется тригонометрическим рядом.
Если коэффициенты
и
вычислены по формулам
,
,
,
(20)
то тригонометрический
ряд (19) представляет собой ряд
Фурье для
функции
,
заданной на отрезке
.
Теорема Дирихле.
Если
- кусочно гладкая на отрезке
функция, то ее ряд Фурье сходится к
функции
во всех точках, где она непрерывна. В
точках разрыва
ряд сходится к значению
,
а на концах интервала – к значению
.
В силу теоремы Дирихле для функции, заданной на отрезке и для периодической функции с периодом в точках непрерывности справедливо равенство:
,
где коэффициенты
и
вычисляются по формулам (20).
Для четной функции, заданной на отрезке или для четной с периодом с периодом коэффициенты при нечетных членах ряда Фурье оказываются нулевыми, и ряд принимает вид
,
где
;
.
Аналогично для нечетных функций:
;
.
Ряд Фурье для
функции, заданной на отрезке
и для периодической функции с периодом
:
,
где
,
,
.
Здесь для четных функций:
,
где
,
;
для нечетных функций:
,
где
.
Если требуется
представить рядом Фурье функцию, заданную
на отрезке
,
то ее формально можно доопределить
четным или нечетным образом в промежутке
и применить приведенные выше формулы.
Решение примерного варианта
Задача 1. Исследовать сходимость числового ряда.
а)
.
К данному знакоположительному ряду применим признак Даламбера:
;
ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
б)
.
Исследуем данный знакочередующийся ряд на абсолютную сходимость, рассмотрев ряд, составленный из модулей его членов:
.
Полученный
знакоположительный ряд сравним по
второму признаку сравнения с гармоническим
рядом
,
про который известно, что он расходится:
.
Предел существует и не равен нулю; следовательно, согласно признаку, исследуемый ряд, как и гармонический, тоже расходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд абсолютной сходимости не имеет.
Проверим теперь, обладает ли исходный знакочередующийся ряд условной сходимостью. Для этого используем признак Лейбница:
;
,
т.е. для любых
выполняется условие
.
Оба условия признака Лейбница выполняются, т.е. по признаку Лейбница ряд сходится. Таким образом, исходный знакочередующийся ряд сходится условно.
Ответ: ряд сходится условно.
Задача 2. Найти область сходимости степенного ряда.
.
Здесь центр
сходимости
.
Найдем радиус сходимости по формуле
(16), полученной из признака Даламбера:
.
Так как при
функции
и
являются эквивалентными бесконечно
малыми, то при
эквивалентны бесконечно малые
и
,
а также
и
.
Поэтому
.
По найденному радиусу сходимости получаем гарантированный интервал абсолютной сходимости:
.
Исследуем сходимость ряда на границах этого интервала.
.
Этот знакочередующийся ряд не имеет абсолютной сходимости, т.к.
,
и ряд
расходится (второй,
предельный признак сравнения). В то же
время для него выполняются условия
и
,
т.к.
- возрастающая функция. Следовательно,
ряд сходится по признаку Лейбница, т.е.
исходный степенной ряд в т.
сходится условно.
.
Этот знакоположительный
числовой ряд также можно сравнить с
расходящимся рядом
по второму признаку
сравнения, из чего следует, что ряд
расходится.
Ответ:
область сходимости данного степенного
ряда:
.
Задача 3. Данную функцию представить в виде степенного
ряда по степеням (x – a), где а – данное число.
.
Требуется разложить
функцию по степеням двучлена
.
Обозначим его новой переменной:
.
Тогда
,
и
.
Последнее выражение представим в виде
и введем еще одну переменную:
.
После этого
.
Теперь для функции
применим ее
известное разложение в ряд Маклорена
(см. справочную информацию):
.
В последнем
разложении возвратимся к переменной
и далее к исходной переменной
:
.
Найдем теперь
область сходимости. Для переменной
ее составляет интервал
,
т.е.
.
Тогда
и
.
Отсюда получаем, что
.
Ответ:
,
.
Задача 4. Вычислить приближенно с заданной точностью
значение функции при данном значении аргумента
с помощью разложения функции в степенной ряд.
при
.
По условию задачи
требуется вычислить
с точностью до четвертого знака после
запятой. Воспользуемся разложением в
ряд Маклорена функции
:
.
Подставим сюда
заданное значение
:
,
0,
1, 2, … . (а)
Здесь в правой
части при вычислении нужно учесть такое
количество первых членов, чтобы остаток
не превышал заданной погрешности:
.
При этом ряд в правой части (а) получился
знакочередующимся, и для него модуль
остатка меньше первого члена этого
остатка:
.
Следовательно, для обеспечения заданной
точности достаточно выполнить условие
.
(б)
Поскольку
,
то условие (б) принимает вид
,
или
.
Методом подбора
легко убедиться, что последнее условие
начинает выполняться с номера
:
,
.
Следовательно, для обеспечения заданной точности достаточно вычислить сумму первых шести членов ряда, с нулевого по пятый:
.
Ответ:
.
Задача 5. Вычислить приближенно с заданной точностью
определенный интеграл с помощью разложения
подынтегральной функции в степенной ряд.
.
Воспользуемся известным разложением в ряд логарифмической функции:
.
Заменим в этой
формуле
на
:
.
Пересчитаем область сходимости:
.
Констатируем, что интегрирование требуется произвести в пределах области сходимости. Следовательно, ряд, которым представлена подынтегральная функция, можно интегрировать почленно. Выполним это:
,
0, 1, 2, …
Полученный ряд оказался знакочередующимся. Поэтому используем то же самое условие обеспечения заданной точности, что и в предыдущей задаче:
. (а)
Здесь
,
поэтому минимально необходимое находим из условия
,
или
:
,
.
Из последнего вытекает, что для обеспечения заданной точности достаточно просуммировать первые шесть членов ряда:
.
Ответ:
.
Задача 6. Данную функцию разложить в ряд Фурье в
заданном интервале.
,
(-1, 1).
Легко убедиться, что в заданном интервале функция непрерывна и, следовательно, может быть представлена своим рядом Фурье в смысле теоремы Дирихле. Кроме того, в рассматриваемом интервале она четная, поэтому ее ряд Фурье должен содержать только четные тригонометрические функции, т.е. косинусы. На этих основаниях записываем:
,
.
(а)
Находим коэффициенты.
.
.
Т.к.
,
то
.
Тогда
.
Далее,
,
1,
2, … . и, следовательно, коэффициенты
имеют ненулевые значения только при
нечетных
,
т.е. при
.
Таким образом,
,
.
Подставляем найденные коэффициенты в формулу (а):
.
Ответ:
,
(-1;
1).