5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Знакочередующиеся ряды представляют собой частный случай знакопеременных рядов, когда знаки членов «плюс» и «минус» поочередно меняются. Если считать все числа положительными, то знакочередующийся ряд в общем виде можно записать таким образом:

, (11)

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, и общий член ряда по модулю стремится к нулю.

Таким образом, для сходимости знакочередующегося ряда (11) достаточно выполнения двух условий:

1) ;

2) .

Следствия из теоремы Лейбница:

1) сумма сходящегося знакочередующегося ряда, записанного в форме (11), положительна и меньше его первого члена:

; (12)

2) если ряд (11) сходится по признаку Лейбница, то его остаток

по модулю меньше своего первого члена: .

6. Функциональные ряды.

Функциональным называется ряд, члены которого суть функции переменной :

, (13)

Функция

называется частичной суммой ряда (13). Предел частичной суммы при , если он существует как функция аргумента , называется суммой функционального ряда:

.

При этом говорят, что ряд (13) сходится. Значение , при котором ряд (13) сходится, т.е. сходится числовой ряд , называется точкой сходимости функционального ряда. Множество значений аргумента , при которых функции определены, и ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Функция

называется остатком функционального ряда.

7. Степенные ряды. Область и радиус сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (14)

где a, A₀, A₁, A₂, …, A_n, … - действительные числа. Частный случай степенного ряда при :

.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (14) сходится при , то он сходится, причем абсолютно, при любом x, удовлетворяющем неравенству

. (15)

Если же ряд (14) расходится при , то он расходится и при любом x, удовлетворяющем неравенству

. (16)

Поясним формулировку теоремы Абеля. После несложных преобразований условия (15) и (16) можно соответственно записать в виде

,

.

Отсюда следует, что число в окрестности точки a образует симметричный относительно нее интервал. При этом если ряд сходится при , то гарантирована его сходимость и внутри интервала. Если же он расходится при , то он обязательно расходится и во всех точках вне интервала. Таким образом, теорема Абеля фактически устанавливает существование симметричного относительно точки интервала абсолютной сходимости степенного ряда. Половина его длины обозначается R и называется радиусом сходимости, а точка - центром сходимости.

Радиус сходимости R может принимать значения от 0 до , т.е. . Интервал абсолютной сходимости может быть записан в виде . Сходимость ряда в точках и должна быть исследована особо, и в случае ее установления соответствующая граница добавляется к интервалу, образуя область сходимости.

Применив к степенному ряду признак сходимости Даламбера, для радиуса сходимости можно получить формулу

. (17)

Эта формула справедлива только в тех случаях, когда ряд содержит все целые степени разности , т.е. не имеет нулевых коэффициентов.

Если же для анализа сходимости степенного ряда применить радикальный признак Коши, то получится формула

.

Теорема. Любой степенной ряд внутри его интервала сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать; при этом его радиус сходимости сохраняется, а сумма ряда также интегрируется или дифференцируется.