4.10 Энергетический подход

Интенсивность выделения упругой энергии и сопротивление росту трещины. Критерий Гриффитса

К оценке трещиностойкости элементов конструкций

Другими довольно широко используемыми в настоящее время критериями трещиностойкости элементов конструкций являются энергетические. Смысл энергетического подхода к формулировке условия хрупкого разрушения состоит в следующем:

рост трещины возможен лишь в том случае, когда система способна выделить энергию, необходимую для образования новых поверхностей.

Источником энергии может быть работа, совершаемая внешней нагрузкой, или энергия упругого деформирования, запасенная в системе.

Стабильный (контролируемый, см. рис. 4.28) рост трещины в пластине единичной толщины возможен, если выполняется условие

,

(4.7)

где А – работа внешней нагрузки;

U – потенциальная энергия упругого деформирования;

F – энергия, необходимая для образования новых поверхностей, иными словами, для продвижения трещины.

Структура энергозатрат на этапе стабильного роста трещины показана на рис. 4.23.

Параметр называется интенсивностью выделения энергии, – сопротивлением росту трещины.

По смыслу отношение представляет собой энергию, приходящуюся на единицу пути распространения трещины, которая пропорциональна величине ; интенсивность же выделения энергии в целом – . Схеме «трещина в бесконечной тонкой пластине при одноосном растяжении» (рис. 4.7) соответствует значение постоянной С =  ; окончательно

	– плоское напряженное состояние;	(4.8)
	– плоское деформированное состояние.	(4.9)

Таким образом, для стабильного роста трещины необходим баланс между подводимой и поглощаемой энергией. В хрупких материалах, таких как силикатное стекло, полиметилметакрилат, конструкционная керамика и др., последнюю связывают с так называемой поверхностной энергией , необходимой для образования новых поверхностей,

F = 2  l, .

Уравнение энергетического баланса (4.7) для системы на рис. 4.7 разрешим относительно критического напряжения _c:

.

Этот критерий впервые был сформулирован А. Гриффитсом.

Анализ и экспериментальные проверки критерия Гриффитса (Ирвин, Орован и др.) показали, что в действительности энергия развития трещины в металлах значительно превосходит теоретическую величину поверхностной энергии . Этот факт объясняется преобладанием в общих энергетических затратах доли энергии, расходуемой на пластическое деформирование материала у вершины трещины (диссипации), над той ее частью, которая необходима непосредственно для разделения поверхностей, т.е., разрушения, разрыва связей в материале.

Рис. 4.34. R–кривая и смена стабильного роста трещины неконтролируемым при плоском деформированном и плоском напряженном состояниях

R-кривая и критерий роста трещины

В результате экспериментальных исследований было установлено, что сопротивление росту трещины R при плоском деформированном состоянии практически не зависит от ее длины l. Существует такое значение интенсивности выделения энергии – константа материала, выше которого материал не способен поглотить выделяемую системой энергию (рис. 4.34). Условие энергетического баланса нарушается: G > R – стабильное подрастание трещины сменяется лавинообразным.

В условиях плоского напряженного состояния характеристика R= R(l) нелинейна, в связи с чем она получила название R–кривая. Как следует из схемы на рис. 4.34 справа, при любой величине номинального напряжения   ₂ рост трещины невозможен, поскольку выделяемой энергии недостаточно для преодоления сопротивления росту трещины (равенство G = R выполняется в одной-единственной точке – В); тем не менее размер трещины в этот момент, как и во все предыдущие, остается прежним (l_i =0). По мере увеличения нагрузки  >  ₂ происходит контролируемый рост трещины, так напряжению  ₃ отвечает удлинение l₃. Наконец, точка D на диаграмме соответствует моменту, после которого энергетический баланс нарушается в пользу интенсивности выделения энергии (G > R), стабильный рост трещины сменяется нестабильным.

Таким образом, необходимое и достаточное условие разрушения в энергетических терминах имеет вид

G = R;

.

Заметим, что при плоском напряженном состоянии критическая интенсивность выделения энергии G_1с уже не является характеристикой материала.

Рис. 4.35. В случае инвариантности R–кривой каждой длине l_i трещины соответствует свое значение критической интенсивность выделения упругой энергии

Крафт предположил, что для данного элемента конструкции R–кривая инвариантна по отношению к длине трещины, что для определенных условий было подтверждено экспериментально. На основании этой гипотезы можно любой длине l_i трещины сопоставить значение характеристики трещиностойкости (рис. 4.35).

Эффект хлопка

Рис. 4.36. Отражение эффекта хлопка с помощью R–кривой специального вида

В ходе экспериментального изучения закономерностей распространения трещин в плоских образцах в ряде случаев отмечалась локальная нестабильность этого процесса. С ростом нагрузки трещина, вначале неподвижная, при достижении некоего порогового значения интенсивности выделения упругой энергии , не зависящего от длины трещины, совершает резкий скачок на величину  l_хлопка (рис. 4.36), сопровождающийся отчетливо слышимым щелчком, после чего следует период ее стабильного развития. Эта особенность получила название «эффект хлопка». Для описания эффекта хлопка были предложены специального вида R–кривые, одна из которых приведена на рис. 4.36.

Диаграмма докритического разрушения

Своеобразной характеристикой трещиностойкости конкретного объекта можно считать упоминаемую ранее довольно часто в отечественной и зарубежной литературе диаграмму докритического разрушения – связь номинального напряжения, по сути, нагрузки, с длиной трещины на стадии ее стабильного развития (рис. 4.37). Нетрудно видеть, что данная диаграмма может быть получена путем анализа поведения трещины в указанный период, и полностью объясняется соотношением функции G(, l) и заданной R–кривой.

Рис. 4.37. Связь R–кривой с диаграммой докритического разрушения на этапе стабильного роста трещины

Ранее, в подразделе 4.9 было отмечено, что для достаточно длинных трещин предел трещиностойкости довольно слабо зависит от параметра l, и в первом приближении его можно считать постоянным. Это утверждение иллюстрирует рис. 4.37: критические длины трещины l_с, l_с1, l_с2 заметно отличаются друг от друга, но критическая интенсивность выделения упругой энергии с ростом длины трещины увеличивается незначительно. Таким образом, задавшись допуском G_1c, можно определить диапазон длин трещин, в котором величина G_1c становится постоянной рассматриваемой системы, что упрощает соответствующие расчеты.

Рис. 4.38. Изменение критической интенсивности выделения упругой энергии в пластинах бесконечной и ограниченной ширины

Влияние конечных размеров пластины

В пластинах конечной ширины (так называемых полосах) зависи мость G(l) становится нелинейной (рис. 4.35, трещина длиной от ) в связи со взаимодействием поля напряжений в вершине с границами пластины. С учетом однозначной связи между параметрами G и K в рамках линейной механики разрушения (см. соотношения (4.8), (4.9)) это обстоятельство отражается введением в выражение для коэффициента интенсивности напряжений корректирующих функций, например,

(см. подраздел 4.4). В связи с этим кривая имеет экстремум (рис. 4.38). Оказывается, наибольшая трещиностойкость пластин с трещинами может быть достигнута при оптимальном с точки зрения хрупкой прочности соотношении ширины пластины и длины трещины, причем, надо заметить, не самой короткой.

Элементы нелинейной механики разрушения в энергетическом подходе. Понятие J-интеграла

В том случае, когда размер зоны пластичности не может считаться весьма малым по сравнению с длиной трещины (необходимо отличие, по крайней мере, в 25 раз, см. подраздел 4.7), параметр «интенсивность выделения упругой энергии» неприменим, т.к. пренебречь диссипацией энергии при неупругом деформировании уже нельзя. Решения задачи о напряженно-деформированном состоянии в окрестности трещины, выходящее за рамки линейной механики разрушения, были предложены независимо Г.П. Черепановым и Дж. Райсом. Последним также был сформулирован энергетический критерий разрушения, использующий специальную характеристику – так называемый J–интеграл

^;

здесь T_i = _ij n_j – составляющие проекции тензора напряжения на нормаль к замкнутому контуру Г (рис. 4.39);

– работа, затраченная на деформирование элемента объема;

u – перемещение вдоль оси х;

ds – элемент дуги контура Г.

Рис. 4.39. Замкнутый контур Г для вычисления J–интеграла и выбор удобного контура интегрирования

Можно показать, что J–интег-рал не зависит от пути интегрирования (поэтому его называют контурно независимым) при условии, что контур интегрирования не вторгается в зону пластического деформирования. Это позволяет выбирать такие траектории, где интегрирование не представляет трудностей, например, свободные края образца (рис. 4.39).

Рис. 4.40. Интерпретация J-интеграла как обобщенной функции выделения энергии за счет роста трещины

В тех условиях, когда справедлив подход линейной механики разрушения, J–интеграл совпадает с интенсивностью выделения упругой энергии G, в общем же случае величина (U – потенциальная энергия) представляет обобщенную функцию выделения энергии системой за счет продвижения трещины (рис. 4.40). Аналогом критического значения G_1с является критическое значение J–интеграла J_1с, что экспериментально было подтверждено Бигли, Лэндисом, Кобаяши и др.