32. Теорема о размерности ядра и образа оператора.

А: V → V, ,ker A, im A – линейн подпространства простр-ва L. dim (ker A), dim (im A) – размерности.

теор1. V – линейн пространство, dim V = n, =>dim (im A) + dim (ker A) = n

Док-во: ker A – подпрост-во V => подпространство прост-ваV: V = V1 ker A

dim V1 + dim (ker A) = n, докажем, что dim V1 = dim (im A)

пусть dim V1 -=p, dim(im A) = q, p=q, Ax=y.Пусть ,,k=1,…q

- лин незав: - лин незав => =1,…q => - лин независ.V1 – содержит q линейн независ элементов.

явл-ся прав дробью

Док-во леммы: А = Р(а)/φ(а), φ(а) не = 0 , где Ф(z)=P(z) - A φ(z) (2); Ф(a)=P(a) - A φ(a)=0 => a – корень некоторой кратности k>1 => , где ψ(а) не = 0.

(2) => ,ч.т.д.

Док-во теор1:Сначала применим док-во леммы. P(z)/Q(z), а – корень кратности α для Q(z) => (1). В правой части еще раз применим лемму, а – корень знаменателя указанной прав части кратности (α-к)>0. b – корень кратности β этого знаменателя (по условию теоремы). Продолжая аналогичные рассуждения для всех корней Q(z), получим требуемое разложение в теореме.

Примечание: в данной теореме P(z), Q(z) были многочленами с комплексными коэф-тами.

Случай, когда коэф-ты вещественны: - приведенный алгебраический многочлен,, коэф-ты вещественны.(1)

теор2. Если число а (комплексное) явл-ся корнем алгебраич многочлена с вещественными коэф-тами, то сопряженное число а’ также явл-ся корнем этого многочлена, причем если а – корень кратности λ, а’ – тоже к. кр-ти λ.

Док-во: a=x + iy => a’=x-iy

еслиf(x) многочлен с веществ коэф-тами, то f(z’) явл-ся сопряженной к f(z). . По формуле Муавра

Сравнивая коэф: В₁+М=2 В₂+N-2M=4 B₂+M-2N=1 –B₁+B₂+N=2. Решив эту систему: В₁=2 В₂=3 М=0 N=1 

[2х³+4х²+х+2]/(х-1)²(х²+х+1) = 2/(x-1) + 3/(x-1)²+1/(x²+x+1)

Теор:  прав-ая рац-ая дробь, знам-ль которой имеет вид: Q(x)= (x-b₁)^1(x-b₂)^2…(x-b_m)^m(x²+p₁x+q₁)^1..(x²+p_nx+q_n)^n, разлаг-ся в сумму простейших дробей:

P(x)/Q(x)= B₁⁽¹⁾/(x-b₁)+B₂⁽¹⁾/(x-b₁)²+…+B_1⁽¹⁾/(x-b₁)^1+…+ B₁^(m)/(x-b_m)+B₂^(m)/(x-b_m)²+…+B_m^(m)/(x-b_m)^m +[M₁⁽¹⁾x+N₁⁽¹⁾]/ [x²+p₁x+q₁]+[M₂⁽¹⁾x+N₂⁽¹⁾]/ [x²+p₁x+q₁]²+..+[M_1⁽¹⁾x+N_1⁽¹⁾]/ [x²+p₁x+q₁]^1+…+[M₁⁽ⁿ⁾x+N₁⁽ⁿ⁾]/ [x²+p_nx+q_n]+…+ [M_n⁽ⁿ⁾x+N_n⁽ⁿ⁾]/[x²+p_nx+q_n]^n – (2).

В этом разлож-ии В₁⁽¹⁾… B_m^(m),М₁⁽¹⁾…M_n⁽ⁿ⁾,N_n⁽ⁿ⁾ – некоторые веществ постоянные, часть их которых может =0.

Для конкретного определения этих постоянных – привести (2) к общему знамен-лю, сравнить коэф при одинаковых степенях х в числ-ле.

31. Линейные операторы и их свойства. Обратный оператор.

опр. W1, W2 – произвольные линейные пространства, соответствующих размерностей n и m. Оператором А из V в W наз-ся отображение вида А: V →W

опр. оператор А, действующий V →W, наз-ся линейным, если для любых х1, х2 и λ (чисел) 1) А (х1 + х2) = Ах1 + Ах2 (свойство адитивности) 2) А(λч) = λАч (однородность)

опр. образом линейн оператора А, действующего V →W, наз-ся множество у=Ах.im A = {}.

Сумма операторов и умножение на число.

А: V →W; В: V →W

(А + В)(х) = Ах+Вх

(λ)(А)(х) = λ (Ах); λ

опр. нулевым оператором θ:

утв. если (A^(-1))*A*x=0, то х=0

опр. Говорят, что линейн оператор действует взаимнооднозначноV → V, если 2-м разл элементам х1 не = х2 (из V) → Ах1 не = Ах2. Отображение на: V на V отображает оператор А в этом случае, т.е.

утв. пусть взаимнооднозначное отображение => ө линейно независимые элементы простр-ва V → - лин незав элементыV.

Док-во: -лин независ => => => отсюда вытекает отображение на => -лин незав, ч.т.д.

теор. Чтобы имел обратный оператор А^(-1) необх и дост, чтобы этотоператор А действовал взаимнооднозначноV → V.

Док-во: (необх) пусть сущест-ет А^(-1). Предположим противное, А не явл-ся взаимнооднозначным , т.е. х1 – х2 не = о, но Ах1=Ах2.

Ах1-Ах2 = А(х1-х2)=0 => x1-x2=0 при х1 не = х2 => несоответствие => А – взаимооднозн, ч.т.д.

(достаточн) Пусть А: V → V: осущ-ет взаимноодназн отображение. Надо доказать,ч то сущест-ет А^(-1). => . А^(-1) – лин оператор => обратн оператор (согласно определению).

p=dimV1 => p ≥ q. p>q – противоречие. (докажем, что противоречие). Пусть p>q, - лин незавV1 дополним так, чтобы составило базис вV1. p>q, q – dim (im A) => - линейн незав вV1. => не все =0: => => но -базис V1 => противоречие.

=> p=q => dimV1 = dim (imA) => dim (im A) +dim (ker A) =n

опр. rang A = dim (im A). рангом оператора наз-ся число, равное размерности образа этого оператора.

следствие. Чтобы имелA^(-1) необход и дост, чтобы rang A = dim V = n

док-во: по теор1 dim (imA) + dim (ker A) = n. dim (im A)=n, rang A=n => dim (ker A) =0 => dim (ker A) = 0 => ker – θ => А взаимооднозначно V =>

теор2. Пусть (подпространства), гдеdimV =n. dim V1+dimV2=dimV => V1 = im A, V2 = ker A

Док-во: пусть dim V1 = p; dim V2 = q. -базис V такой,чтобы вV1

A: Ae1=g1, Ae2=g2,,=>=>=> V1= im A = {; Ax=y}

A- линейн, тк А(х+у) = Ах +Ау