46. Приведение к канонич виду уравнения кривой 2 порядка. Приведение к канонич виду уравнений поверхности 2 порядка.
опр.
Уравнение кривой 2-го порядка в
прямоугольной системе координат ОХУ
имеет след вид:
а11*(х^2)+а12*х*у+а22*(у^2)+2*b1*x+2*b2y+c=0;
,
и с – коэф-ты квадратичной формы.
т
-ма.
С помощью поворота и параллельного
переноса осей координат можно придти
к такой системе координат, в которой
уравнение кривой имеет канонический
вид, т.е. ∑(i
от 1 до n)=
λ
повороту ОХУ и параллельного переноса.
1 шаг: 11*x^2 – 20*x*y – 4*y^2;
A= (11 -10 (11-λ -10
-10 -4) x=Py; P - ? -10 4- λ ) = 0 => λ1=-9; λ2=16
det [(A- λ*I)x]=0 |20x -10|
|-10 -5x| =0
P=
|
-2
|
|2
-11
|λ1=-9
(20 -10
-10
5) => (система)
20x -10y=0; -10x+5y=0 => y=2x; x=1, y=2; z(x,y) => |z|=
вектор
(1/
;
2/
).
При λ=16 находим 2 столбец
(-5 -10 (х
-10 -10) * у) = (система) -5x-10y=0; -10x-10y=0 => x=-2y=> y=1; x=-2
вектор
(-2/
;
1/
)
Р
= (1/
2/
det
P
= 1; cos
φ=-1/
;
2/
1/
)
sin
φ=
2/
;
φ=arcos
1/
(x|
|x’|
|1/
-2/
|
|x’|
|1/
x’
-2/
y’|
|
y)
= P*
|y’|
= |2/
1/
|
* |y’|
= |2/
x’
1/
y’|
(система)
x=
11/
x’
– 2/
y’;
y=2/
x’
+ 1/
y’
λ1
((x’)^2)
+
((y’)^2)
= -9 (x’)^2
+ 16*(y’)^2
-9
(x’)^2
+ 16*(y’)^2
– 36/
x’
+ 32/
y’
+1=0
-9
(x’+
2/
)^2
+ 16(y’
+1/
)^2
+5 = 0
-9
(x’)^2
– 36/
x’
= -9((x’)^2
+ 4/
x’)
= -9 (x’
+2/
)^2
+ 9(2/
)^2
║перенос;
x’+
2/
= x’’
-9(x’’)
+ 16 (y’’)^2-=-5
y’
+ 1/
= y’’
(x’’)^2/
(5/6) – (y’’)/
(5/6) =1 (гипербола начинается в (
/3;0))
Уравнение поверхности 2-го порядка: а11*(x^2)+ a22*(y^2)+a33*(z^2)+2*a12*x*y+ 2*a23*y*z+ 2*b1*x + 2*b2*y + 2*b1*z + c=0
|x| |x’|
|y| = P* |y’| λ1- собств значение А
|z’|
A(x,y,z)= λ1*(x’)^2 + λ2 (y’)^2 + λ3* (z’)^2
A= |a11 a12 a13|
|a21 a22 a23|
|a31 a31 a33| симметр матрица. С помощью паралл переноса,
замены x,y,z на x’, y’, z’ => λ1*(x’’)^2 + λ2*(y’’)^2 + λ3* (z’’)^2=c