35. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
-1ый
базис (1),
2
базис вV
(2). Переход от (1) к (2):
,
где
.
Пусть
матрица А в (1).,
матрица
А в (2).
теор.
При указанных обозначениях
,
гдеu^(-1)
– обратная матрица u.
Док-во:
(3)
(4);
;
(3) =>
=>
базис
=>
=>
=>
=>
,
ч.т.д.
Следствие:
,
т.е. определители матрицы линейного
оператора не
базиса,
явл-ся инвариантным.
наз-ся
следом оператора А (trA
=
);
det(A-
λI)=0
наз-ся характеристическим уравнением
А.
- уравнение относительно λ.
опр.
Число λ наз-ся собственным значением
А, если существует ненулевой вектор
оператора А (К не = 0), что Ах= λх (
).
х – собств вектор.
теор. Чтобы λ было собствен значением А необход и дост, чтобы это число было корнем характеристического уравнения оператора А.
Док-во:
(необход). Пусть λ – собсвт значение А,
х – собств вектор (ненулевой). Ax=
λx
=> Ax=
λIx
=> (A-
λI)x=0
=> ядро
оператора (A-
λI)
не пусто
(ker
(A-
λI)
не
=0)
=> dim
ker(A-
λI)
1:dim
(im
(A-
λI))
+ dim
(ker
(A-
λI))
= n
=> dim
(im
(A-
λI))
n-1
(1)
Согласно определению dim (im (A- λI)) = rang (A- λI); (1) => rang (A- λI)≤n-1 => det [A-λI)]=0 => λ корень характерист уравнения.
Док-во:
(достаточность) пусть λ корень характ
уравнения => rang(A-
λI)≤n-1;
det
[A-λI]
= 0 => (1) => dim
ker
(A-λI)
≥1 =>
(A-λI)x=0
=> Ax
= λx
=> λ собств щначение оператора А
Пр.
1 шаг: det (A-λI)=0 I – матрица тождественного оператора
[A]:
,
,
-
коэффициенты разложения
по базису
т.к.
по (1)
=> матрица диагональна.
Док-во:
(достаточность) пусть [A]
диагон матрица вида (2) => (A-λI)x=0
при
,
т.е.
-
собств вектора А, ч.т.д.
38. О линейной независимости собственных векторов лин оператора, отвечающих различн собств значениям.
теор.
А – лин оператор,
,
-
собсвт значения А; λ1, λ2,….- различны. =>
отвечающие им собственные векторы х1,
х2,… - линейно независимые.
Док-во:
докажем по индукции. Пусть х1 – собств
вектор А, х1 не =0. Пусть
справедливо
для
.
если
все коэффициенты = 0. Пусть
.
По условию х – собств вектор А=>
(1);
.
По условию
лин
независимо
(1):
,
т.к.
если
=>
линейно
независимы.
Следствие. Если det (A-λI)=0; λ1, λ2,…, λn=0 – есть n различных корней.
Док-во:
Пусть х1, х2, хn
– соотвест собств вектора.Эти вектора
линейно независимы => можно брать как
базисные вектора пространства V.
=>
[A]
в
базисе
имеет
диагональный вид, ч.т.д.
39. Билинейные формы в Евкл пространстве. Теорема о представлении билинейной формы.
,
где С – комплексная плоскость. А наз-ся
билинейной формой или функционалом.
Если L(R,R)
– А наз-ся функцией.
опр.
Числовая функция В(х,у), где х,у – элементы
некоторого линейного пространства,
наз-ся билинейной формой. Если
1)B(x+y,z)
= B
(x,z)
+ B
(y,z)
2) B(x,y+z)
= B
(x,y)
+ B
(x,z)
3) B
(λx,y)
= λB(x,y)
4) B(x,
λy)
= λB(x,y)
<x, A’y1> + λ’2* <x,A’ y2> = <x,A’(λ1*y1 + λ2*y2)> => доказана линейность A’
теор. Любой А имеет единств сопряж оператор.
<Ax,y>
- билин форма =>
;
для
сопряж
оператор.
Свойства сопряж оператора: 1) I’ = I 2) (A+B)’ = A’ + B’ 3) (λA)’ = λ*A’ 4) (A’)’ = A 5) (AB)’ = B’A’
Док-во1:
<Ix, y> = <x, I’y> => <x,y> = <x, I’y>
=> y=I’y => I=I’
Док-во
5:
<(AB)x,y> = <A(Bx),y> = <Bx,A’y> = <x,B’(A’y)>
= <x,(B’A’)y> => <(AB)x,y> = <x,(B’A’)y>
; <(AB)x,y> = <x,(BA)’y => (AB)’ = B’A’
опр.
наз-ся
самосопряж, еслиA’=A
опр. А и В коммутируют, если АВ=ВА
теор. А и В – самосопряж операторы. Чтобы АВ было самосопр необх и дост, чтобы А и В крммутировали.
Док-во: (AB)’ = B’A’=BA (A’=A, B’=B) => если AB = BA, то (AB)’=AB => АВ самосопр.
Докажем др способом. пусть А и В самосопр => (AB)=(AB)’=BA => AB=BA ч.т.д.
Св-ва:
1) Собств значения
-
вещественное число (действительное).
2) Собств значения самосопр оператора
вещественны, т.е. действительные числа.
3) если А – самосопр оператор, то собств
вектора, отвечающие различным собств
значениям этого оператора, ортогональны
между собой.
Док-во
1: по свойству
- компл сопряженность. <Ax,x>=<x,Ax>,
<Ax,x>=<x,A’x>=<x,Ax>
=>
только
для действ чисел
=> <x,Ax>
- действ, ч.т.д.
Д
ок-во
2:λ
– собств значение самосопр оператора,
т.е.
=> <Ax,x>
= < λx,x>
= λ
<x,x>
= λ
||x||^2
=> λ
действ число
Док-во:
из утв3
