41. Нормы линейн пространства.

опр. V – евклидово простр-во, .

утв. Имеет место неравенство ||Ax||<=||A||*||x|| (1);

Док-во: Ax = A * ((1/ ||x||)*x*||x||)

||(x/ ||x||)|| = 1, т.к. (1/||x||)*||x|| = 1 =>||Ax|| = ||( A* (1/ ||x||)* x* ||x||)|| <= sup ||Az||*||x|| = ||A||*||x||

||Ax|| <= ||A||*||x||, ч.т.д.

утв.2. А – самосопряж оператор => ; ||Ax|| <= ||A|| * ||x||; |<Ax,x>| <= ||A|| * ||x||; ;=> μ <= ||A|| => (1/ ||x||)* |<Ax,x>| <= ||A|| * ||x||

||(x / ||x||) = 1 => |<Ax, (x/ ||x||)>|| <= ||A|| * ||x|| => sup|<Ax,x>| <= ||A||; |A * (x/ ||x||), (x/ ||x||)| <= A => μ = ||A|| => μ = sup |<Ax,x>| = ||A||

утв3. V – евклидово простр-во, А – самосопряж оператор. λ – собствен значение А =>

Док-во: (5). Обозначимx = z/ ||z|| => ||x|| = || (z/ ||z|| )|| = (1/ ||z||) * ||z|| = 1. (5) => Az = A* (x ||z||) = λ*x*||z|| => ||z||*A*x = λ*x*||z|| => Ax = λ*x = <Ax,x> = < λx, x> = λ <x, x> = λ*||x||^2 = λ => λ = <Ax,x>, ||x|| = 1, ч.т.д.

утв4. А – самосопряж оператор, λ – любое собствен значение А.

опр. матрица В(е) = , где - из (2), наз-ся матрицей линейно формы В(х,у) в базисе

утв. Любая квадратная матрица явл-ся данным в базисе матрицы некоторой билинейной формы.

Док-во: - данный базисL; ,,- данная матрица.. В(х,у) – билин форма, т.е. удовлетворяет аксиомам 1-4. В(x+z, y) = В(x,y) + В(z,y); => В(x+z, y) =В(х,у) + В(z,y), ч.т.д.

утв. В(х,у) – симметричная билинейная форма, если В(е) симметричная матрица (необх и дост условие)

полярной к А(х,х).

координаты вектора коэф-ты у относительно(т.к.. билинейная форма симметрична), а.

матрица квадратичн формы А(е).

теорема. Любая квадратичная форма А(х,х) в n-мерном лин пространстве L с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к канонич виду , где- координаты вектораканонический коэф-т.

Основная идея метода Лагранжа – последовательно выделяется полный квадрат по каждому аргументу.

Док-во: А(х,х) не = 0, в данном базисе

1 шаг: А(х,х) можно преобразовать так, что коэф-т при 1-ой координаты вектора х не =0. Если а11 =0, но другие коэф-ты не =0 => при перенумерации базисного вектора а11 не =0.

пусть а11 не , в (1) выделим ту группу слагаемых, кот-е содержит х, т.е.

Преобразуем выделенную сумму

(3) и (4)=>, где aij – коэф-т после преобразовния

; преобразуем. Повторяем этот процесс, получим в итоге квадратич форму виду

45. Приведение квадратич формы к канонич виду методом ортогон

виду 1) метолом Лагранжа 2) методом ортогонал преобразований

Решение: 1) дополним до полного квадрата;

Применим к W(x1,x3), соберем все члены в группу:

т.о. получим ;;

; <x2,x3>=-1+1+1=0 => x2┴x1; <x3,x1>=0; HO <x2,x3>=0,25 => x2 HE ┴ x1

собств вектора ;х=Ру:;;;;

Док-во: а11*(х^2)+а12*х*у+а22*(у^2)

A = (a11 a12 = (а11 а12

a21 a22) а12 а22)

привести к канонич виду методом ортогон преобразований.

(х = Р * (х’ Р – ортогон матр= (Р11 Р12

у) y’) (1) Р21 Р22)

λ1*((x’)^2)+ λ2*((y’)^2); λ – собств значение матр А.

столбцами Р явл-ся соответст собств векторы А.

Р – ортогон матрица => (система): (P11)^2 + (P21)^2 = 1; (P12)^2 + (P22)^2 = 1; P11*P12 + P21*P22=0

P11=cos φ; P21= sin φ; P12 = cos ψ; P21 = sinψ

cos φ * cos ψ + sin φ * sinψ =0

cos (φ – ψ)=0 => (φ – ψ)=± (π/4) + πk; φ= ψ – (π/2); cos ψ= cos (φ + (π/2)) = sin φ

P = (cos φ sin φ

sin φ cos φ) -> преобразование поворота на φ

в ОХУ: ĩ, ĵ (базисн векторы) переходит в прямоуг систему ОХ’У c ĩ’, ĵ’ (базисн векторы), причем (ĩ’, ĵ’) = (ĩ, ĵ)Р

i = cos φ * ĩ’ + sin φ * ĵ’

j = - sin φ * ĩ’ + cos φ * ĵ’

через (1) выразим 2*b1*x + 2*b1*y через координаты x’, y’ => λ1 * ((x’)^2) + λ2 * ((y’)^2) + 2*b1*(x’) + 2*b1* (y’) + c =0; выделим полный квадрат относительно x’ и y’: λ1* (x’ + ĩ1)^2 + λ2 * (y’ + ĩ2) + c =0

λ1*(x’’)^2 + λ2* (y’’)^2 + c =0

пр. 11*x^2 – 20*x*y – 4*y^2 20*x – 8*y +1=0 привести к канон виду с помощью

преобразований. Закон инерции квадрат формы.

матрица квадратичн формы.

пр. A(x,x)=

; ; x=Py

если матрица Р невырожденная, то еслиdet P =0 (вырожденное линейное преобразование), х=РУ – ортогон преобразование, если Р – ортогон матрица, т.е.элементы строк(столбцов) попарно ортогональны

теор. ортогон преобразование х=РУ, приводящее ее к канонич виду,т.е. квадр форме, (i= 1…n – собств знач матрицы А, а столбцы Р – ортогональные нормированные собств векторы м-цы А)

Пр. привести к канонич)

2)

; rang=2 если λ=-2: ;;

нормизуем х1: собств вектор

если λ=4: пусть х2=1,x3=0 =>x1=0,5: пусть х2=0, х3=0 =>х1= 0,5

Закон инерции квадратичн формы: независимо от способа приведения квадр формы к канонич виду, число е положительно и число ее положительных, а также отриц-х коэффициентов постоянны.

(без док-ва)