2. Метод Метрополиса

В предыдущей главе упоминалось, что в общем случае невозможно вычислить интеграл типа прямым отбором Монте-Карло. Однако, во многих случаях достаточно знать отношение интегралов:

. ()

Так, Метрополис показал, что возможно разработать схему Монте-Карло для вычисления подобных отношений интегралов.

Обозначим конфигурационную часть статистической суммы Z:

. ()

Отметим, что в уравнении (28) – плотность вероятности найти систему в конфигурации вокруг.

Предположим, что каким-то образом можно генерировать точки в конфигурационном пространстве согласно распределению вероятности . Это означает, что в среднем число точекn_i генерированных в единице объема вокруг точки , равно , где L- общее число сгенерированных точек. Другими словами:

. ()

Рассмотрим, каким образом генерировать точки в конфигурационном пространстве с относительной вероятностью, пропорциональной больцмановскому фактору. Для начала необходимо подготовить систему в конфигурации , которую обозначимо(old) и которая имеет отличный от нуля больцмановский фактор. Эта конфигурация, например, может соответствовать регулярной кристаллической решетке без перекрытий. Затем генерируем пробную конфигурацию , которую обозначимn(new), путем небольшого случайного смещенияoконфигурации. больцмановский фактор пробной конфигурации. Теперь необходимо определиться с правилом, по которому эта пробная конфигурация будет приниматься или отвергаться.

Рассмотрим схему Метраполиса. Пусть - вероятность перехода из конфигурацииo в n; m(o)- число точек конфигурации o. Мы хотим, чтобы в среднем m(o) было пропорционально N(o). Матричные элементыдолжны удовлетворять очевидному условию: они не должны разрушать равновесного распределения, если таковое установилось. Это означает, что в равновесии среднее число принятых пробных перемещений из системы о должно быть равно числу принятых пробных перемещений изn в о, то есть:

. (21)

Обозначим – вероятность совершить пробное перемещение изо в n, где обычно называют основной матрицей цепи Маркова. Обозначим вероятность принятия пробного перемещения изо в n . Таким образом:

. ()

Если симметрична (как в изначальной версии метода Метрополиса), т.е., то (31) можно переписать:

. (22)

Откуда следует, что

. ()

Существует множество вариантов , удовлетворяющих этому условию (очевидное условие, что вероятностьне может превышать 1). Согласно Метрополису:

. (23)

Суммируя, в схеме Метрополиса вероятность перехода из о в n:

(24)

.

Предположим, что было сгенерировано пробное перемещение с U(n)>U(0). Согласно уравнению (34) это пробное перемещение будет принято с вероятностью:

<1. (25)

Для того чтобы решить принять или отвергнуть пробное перемещение, генерируется случайное число, обозначим его Ranf, из равномерного распределения на интервале [0,1]. Вероятность того, что Ranf меньше, чем равна . Пробное перемещение принимается, еслиRanf<и отвергается в противном случае. Это правило гарантирует то, что вероятность принятия пробного перемещения изо в n равна . Очевидно, что очень важно, чтобы наш генератор случайных чисел равномерно генерировал из интервала[0,1]. В противном случае отбор Монте-Карло будет необъективным.

Необходимо отметить другое условие, что должно удовлетворять условию эргодичности (т.е. каждая доступная точка конфигурационного пространства может быть достигнута после конечного числа итераций Монте-Карло из любой другой точки).