Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1331 вуз, 5513 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

neopred_int(математика)

.pdf
Скачиваний:
35
Добавлен:
14.02.2015
Размер:
1 Мб
Скачать
☆

П А С К А Л Я У Л И Т К А (частный случай эпитрохоиды при r = R )

r = a cos(ϕ) +l

 

(x2 + y2 − ax)2 = l 2 (x2 + y2 )

a > l

 

a < l

Кардиоида (частный случай Паскаля улитки при a = l или эпициклоиды при m =1)

r =

1 a(1−cosϕ)

r =

1 a(1+cosϕ)

 

2

 

2

С П И Р А Л И

Лемниската Бернулли (синусоидальная спираль)

r 2 = a2 sin(2ϕ)

r 2 = a2 cos(2ϕ)

Спираль Архимеда

Логарифмическая спираль

r = aϕ

r = aϕ ,

 

 

где a > 0,a ≠1; D(r) = R; E(r) =[0;∞].

 

M

 

 

ϕ

 

 

o

u

 

 

90

Гиперболическая спираль ( Корню спираль, клотоида – спираль Эйлера)

 

 

 

 

 

 

s

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x =

∫cos

s

 

ds,

r = a

 

, a >0,

D(r) = R \{0}, E(r) = R \{0}

 

2k

ϕ

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

s2

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

sin

 

 

ds

 

 

 

 

 

2k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Кохлеоида

 

1

 

 

 

 

 

sin

 

ϕ

 

sin(ϕ)

 

 

 

 

 

r = a

2

 

, −3π ≤ ϕ ≤ 3π

r = a

, −3π ≤ ϕ ≤ 3π

ϕ

ϕ

 

 

 

 

 

 

Ферма спираль

 

Жезл

r = a ϕ, 0 ≤ϕ ≤ 2π

r =

a

,0 ≤ϕ ≤ 2π

 

ϕ

Спираль Галилея

Эвольвента (развертка

r = aϕ2 −d, d ≥ 0, −πn ≤ϕ ≤πn, n N

 

окружности)

 

 

x = a(cos(α) + a sin(α)),

 

 

 

 

 

 

 

y = a(sin(α) − a cos(α))

 

 

ϕ =

r 2

− a2

a

 

 

a

− arccos

 

 

 

 

r

 

91

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аньези Локон (Верзьера)

 

 

 

 

Строфоида

 

 

y =

 

a3

x = 2a ctg(ϕ),

y

2

= x

2 a + x

r = −a

cos(2ϕ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

+ 4a

 

 

a − x

cos(ϕ)

 

 

y = 2a sin(2ϕ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Декартов лист

 

 

 

 

 

 

Циссоида Диоклеса

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

3at

,

 

 

 

 

x

3

 

 

 

a sin

2

(ϕ)

x =

at 2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

2

 

 

 

 

 

1+t 2

 

 

 

1+t

 

 

t = tg(OM ,Ox)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

+ y

 

−3axy = 0

 

3at

2

 

y

 

=

 

 

 

 

r =

 

 

 

 

 

at

3

 

 

 

 

 

 

a

−

x

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+t3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

1+t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

Цепная линия

 

 

Трезубец Ньютона

 

a

 

x

−x

r =

 

a

 

xy = ax3

+bx2

+ cx + d

 

 

 

y =

e a

+ e a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

cos

(ϕ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

92

 

 

Кислица

 

Настурция

r =1+

2

cos(3ϕ) −

1

cos(6ϕ)

r =1+

1

cos(ϕ) +

1

cos(5ϕ)

3

3

8

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стрелолист

 

 

 

Трактриса

 

 

 

 

 

r =1 +

9

cos(ϕ) +

1

cos(3ϕ) +

1

cos(5ϕ) +

1

cos(7ϕ)

 

a +

a

2

− y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

4

 

7

 

48

 

x = ±a ln

 

y

 

−

a

 

− y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

х

 

Кленовый лист

 

 

Двухъярусный цветок

r =

a

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

,

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

2 −sin(7ϕ) −

 

 

cos(30ϕ)

r =1+

cos(6ϕ) −

cos(9ϕ)

a +(ϕ −π

2)

8

2

 

 

5

5

 

 

 

 

 

3π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−π

 

≤ϕ ≤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r =

1

+ sin(ϕ) + sin(5ϕ)

r =

1

+ cos(ϕ) + cos(5ϕ)

2

2

 

 

 

 

93

r = 2 −

1

sin(30ϕ) + cos(7ϕ)

r =

1

sin(10ϕ) −cos(10ϕ)

2

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

r =

1

sin(10ϕ) −cos(ϕ)

 

 

r = 2 + 2sin(5ϕ)

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r = sin2 (3ϕ) +cos(3ϕ)

 

 

 

r = (sinϕ)sin ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r = 2 −

1

sin 2 (5ϕ) −

2

cos2 (3ϕ) + cos(2ϕ)

r = 2 −

1

sin

2 (5ϕ) −

1

cos2 (3ϕ) + cos(3ϕ)

7

3

2

 

 

 

 

 

 

3

 

Замечание: угол ϕ - угол используемый при построении графика кривой в Maple.

94

Приложение №2 Структура интегрального исчисления

функции одной переменной

В интегральном исчислении

Дано: F′(x) = f ( x) . Найти F ( x) + C = ∫ f ( x)dx , F (x) - первообразная

Свойства

1.d ∫ f ( x)dx = f ( x)dx

2.d ∫ F ( x)dx = F ( x) + C

3. ∫ a f ( x)dx = a ∫ f ( x)dx

4. ∫[f (x) +ϕ(x)]dx =

= ∫ f ( x)dx +∫ϕ( x)dx

Несобственные интегралы I рода:

+∞

 

b

∫ f ( x)dx =

lim

∫ f (x)dx = A

a

b→+∞a

Несобственные интегралы II рода: если

в точке х = а функция терпит разрыв, то

c

 

c

∫ f (x)dx =

lim

∫ f ( x)dx = A .

a

b→a+0 b

Если А - число несобственный интеграл сходится; если А= ∞ (или не существует) несобственный интеграл расходится.

Неопределённый

интеграл

∫ f ( x)dx =F ( x) + C

Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на некоторое постоянное слагаемое.

Простейшие приемы интегрирования

I. Непосредственное интегрирование

II. Замена переменной III. Интегрирование по частям

Определённый

интеграл

S

 

= lim

 

n

f (ξ

 

) x

 

 

b

aABb

 

∑

i

i

=

∫ f (x)dx

 

n→∞

l

=

 

 

 

a

 

 

 

1

 

 

 

 

 

(xi ≤ ξi ≤ xi+1 )

b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a

 

 

Свойства

1.

 

b

b

 

∫ A f (x)dx = A ∫ f ( x)dx

 

 

a

a

2.

a

 

 

∫ f (x)dx = 0

 

 

a

 

 

3.

b

 

a

∫ f (x)dx = −∫ f ( x)dx

 

a

 

b

4.

b

[f (x) + ϕ(x)]dx =

∫

 

a

 

 

 

b

b

 

= ∫ f (x)dx + ∫ϕ(x)dx

 

a

a

 

5.

b

β

∫

f (x)dx = ∫

f [ϕ(t)] ϕ′(t)dt

 

a

α

 

 

 

 

Приложения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрическое

 

Физическое

 

Экономическое

площадь плоской фигуры:

 

работа переменной силы:

 

объем выпускаемой

b

 

 

b

 

продукции за Т лет:

S = ∫ f ( x)dx

 

A = ∫ F ( x)dx

 

 

T

a

 

 

a

 

Q = ∫(αt + β )eγt dt

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

95

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Большой энциклопедический словарь. Математика/ Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Изд. 3-е. – М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1998.

2.Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2002.

3.Герасимович А. И., Рысюк Н. А. Математический анализ: Справочное пособие. В 2 ч. Ч I. – Мн.: Вышая школа, 1989.

4.Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: справочное пособие по решению задач/ А. А. Гусак. – Изд-е 2-е, стереотип. – Мн.: «ТетраСистемс», 2001.

5.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. I: Учебное пособие для втузов. – 5-е изд., испр. – М.: Высшая школа, 1999.

6.Зайцев И.А. Высшая математика. Учебник для с/х вузов. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 1998.

7.Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. Изд. 4-е, перераб. и доп. – М.: Издательство «Наука», 1975.

8.Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1985.

9.Лунгу К. Н., Письменный Д. Т., Федин С. Н., Шевченко Ю. А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Айрис-пресс, 2004.

10.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для втузов. – М., 1970.

11.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003.

96

Джамиля Алиевна Мустафина Ирина Викторовна Ребро Сергей Юрьевич Кузьмин Светлана Геннадиевна Антипина

Интегральное исчисление функции одной переменной

Учебное пособие

Редактор О.П. Чеботарева Технический редактор канд.техн.наук С.А. Тынянкин Темплан 2006, поз.№

Лицензия ИД № 04790 от 18.05.2001

Подписано в печать _________________. Формат 60x84 1/16.

Бумага газетная. Печать офсетная. Усл.печ.л. Уч.-изд.л. Тираж 300. Заказ____.

Волгоградский государственный технический университет. 400131 Волгоград, пр. Ленина, 28.

РПК ”Политехник”. Волгоградского государственного технического университета.

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

97

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности