Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

neopred_int(математика)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

цией y = f (x) , осью ОY, и прямыми х=а и у=b.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то опреде-

лённый интеграл ∫ f (x)dx существует.

Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний х изменить так, что бы x [a;b], то величина интеграла

будет изменяться. Интеграл: ∫ f (t)dt = Φ(x), x [a;b], называется определён-

ным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х.

Теорема (Связь между неопределённым интегралом и опреде-

лённым интегралами). Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция

f (x) имеет первообразную, равную интегралу ∫ f (t)dt , и тогда согласно оп-

ределению неопределённого интеграла имеет место равенство

∫ f (x)dx = ∫x	f (t)dt +C .
a
Теорема (Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какаялибо
первообразная от непрерывной функции f(x), то ∫b		f (x)dx = F(b) − F(a) – это
	a

выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница4.

4 Лейбниц Готфрид Вильгельм (1.7.1646 – 14. 11.1716) – немецкий философидеалист, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. Ввел впервые обозначение интеграла.

Ньютон Исаак (4.1.1643 – 31.3.1727) – английский физик и математик, создавший теоретические основы механики и астрономии. Ньютон вычислял интеграл любой степенной функции. Математика для него была главным орудием в физических изысканиях.

Основные свойства определенного интеграла:

1.∫b Af (x)dx = A∫b f (x)dx .

a a

2.	∫b ( f1 (x) ± f2 (x))dx = ∫b		f1 (x)dx ± ∫b	f2 (x)dx .
	a	a	a
3.	∫a	f (x)dx = 0 .
	a
4.	Если f(x) ≤ ϕ(x) на отрезке [a, b] a < b, то∫b				f (x)dx ≤ ∫b ϕ(x)dx .
				a	a

5.Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения

функции f(x) на отрезке [a, b], то: m(b − a) ≤ ∫b	f (x)dx ≤ M (b − a) .
a

6.Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то

на этом отрезке существует точка ε такая, что ∫b					f (x)dx = (b − a) f (ε) .
				a
7. Для		произвольных чисел a, b, c справедливо				равенство:
∫b	f (x)dx = ∫c		f (x)dx + ∫b	f (x)dx , где равенство выполняется,		если сущест-
a		a	c

вует каждый из входящих в него интегралов.

8.∫b f (x)dx = −∫a f (x)dx .

a b

	a	0, еслиf (x) − нечётнаяфункция,
	a
9.	∫
9.	∫	f (x)dx =	a
	−a	2	∫ f (x)dx, еслиf (x) −чётнаяфункция.
			0

Методы интегрирования определенного интеграла: 1. Непосредственное интегрирование.

π
Пример: ∫sin(3x)dx = − cos(3x)
0	3

= −	cos(3π)		−	cos 0	=	1	+	1	=	2	.
	3	−		3		3		3		3

2.Замена переменных.

Пусть задан интеграл ∫b f (x)dx , где f(x) – непрерывная функция на отрезке

[a, b]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x = ϕ(t).

1)ϕ(α) = а, ϕ(β) = b;

2)ϕ(t) и ϕ′(t) непрерывны на отрезке [α, β];

′

3) f(ϕ(t)) определена на отрезке [α, β], то ∫ f (x)dx = ∫ f [ϕ(t)]ϕ (t)dt .

Тогда ∫

f [ϕ(t)]ϕ

′

= F[ϕ(t)]

= F[ϕ(β)] − F[ϕ(α)] = F(b) − F(a)

(t)dt

Пример:

x = sin(t)

π / 2

∫ 1− x2 dx = x = 0 t = 0

= ∫

1−sin 2 (t) cos(t)dt = ∫cos2 (t)dt =

∫(1+ cos(2t))dt =

x =1 t =

π / 2

sin

t +

sin(2t)

3.Интегрирование по частям .

Формула имеет вид: ∫u(x)d[v(x)]= u(x)v(x)

− ∫v(x)d[u(x)].

Пример:

2π

u = x

du = dx

2π

∫x cos(x)dx =

dv = cos(x)dx

v = sin(x)

= x sin(x)

− ∫sin(x) dx =

x sin(x)

2π

+ cos(x)

2π =[2π sin(2π )−0 sin(0)]+ [2π cos(2π)−0 cos(0)]=0.

2.2. Приближенное вычисление определенного интеграла

Потребность в приближенном вычислении интеграла возникает тогда, когда не существует или неизвестен метод отыскания точного значения интеграла, и тогда, когда этот метод известен, но неудобен.

Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей,

длины которых равны

x =

b − a

= xi − xi−1 , где

x1, x2, … xn – точки разбиения. Тогда можно

записать, что xi = x0 + h i

(i =

) .

1, n

a=x0

При таком разбиении имеем прямоугольники, площадь которых равна

x yi , где

= f (ξi ) , а ξi

xi−1 + xi

– некоторая точка на отрезке, которая в

частности выбирается середина отрезка [xi−1; xi ].

Тогда сумма площадей всех прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение определен-

ного интеграла и называемое общей формулой прямоугольников:

∫b

f (x)dx ≈

b − a

( y1 + y2

+... + yn ) .

Формула трапеций

Эта

формула

является более точной

по сравнению с формулой

прямоугольников.

Подынтегральная

функция

в этом

случае заменяется на вписанную лома-

ную. Геометрически площадь криволи-

нейной трапеции заменяется

суммой

площадей вписанных трапеций.

Замечание: чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с

большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

y0 + y1

y1 + y2

x; ...

yn−1 + yn

x ;

∫b	f (x)dx ≈	y0 + y1	x +	y1 + y2	x +... +	yn−1 + yn	x .

a		2	2		2

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

b	b − a y		+ y
∫ f (x)dx ≈		0		n	+ y1 + y2	+... + yn−1

	n		2
a

Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула)

Данный метод основан на разбиении дуги

линии f(x), соответствующую [a, b], дуга-

ми парабол, что позволяет получить более

точную формулу приближенного вычис-

ления. Для этого разделим отрезок интег-

рирования [a, b] на четное число отрезков

(2m).

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси OY и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).

		Для каждой пары отрезков построим такую параболу.
y							Уравнения этих парабол имеют вид
y							Ax2 + Bx + C,
							Ax2 + Bx + C,
							где коэффициенты А, В, С могут быть
							где коэффициенты А, В, С могут быть
							легко найдены по трем точкам пересе-


							чения параболы с исходной кривой.
				x1
	0		x0
	0				x2	x
					x2	x

Для определения А, В, С имеется система уравнений:

y0		= Ax02 + Bx0 +C
	y1	= Ax12 + Bx1 +C	(1)
	y2	= Ax22 + Bx2 +C

Если

обозначим 2h = x2 − x0 и

S = ∫(Ax2 + Bx +C)dx = A

+ B

+Cx

примем х0 = -h, x1

= 0, x2 = h, то S =

(2Ah2

+ 6C) (2)

y0 = Ah2

− Bh +C

Выразается S через величины (1):

= C

= Ah

+ Bh +C

C учетом этого: y0 + 4y1 + y2 = 2Ah2

+ 6C .

Отсюда выражение (2) примет вид:

S =

( y0 + 4y1 + y2 )

Тогда для каждой пары отрезков имеется:

∫2

f (x)dx ≈

(y0

+4y1 + y2 ), ∫2

f (x)dx ≈

(y2 +4y3 + y4 ), . . .

Суммируя эти выражения, получаем формулу называемую формулой

Симпсона: ∫b

f (x)dx =

b − a

[y0

+ y2m + 2( y2

+ y4

+... + y2m−2 ) + 4( y1 + y3 +... + y2m−1 )]

Пример:

Вычислим приближенное значение определенного интеграла

∫8 x3 +16dx с помощью формулы Симпсона и формулы трапеций, разбив

−2

отрезок интегрирования на 10 частей. По формуле Симпсона получим:

8			8 + 2
∫	x3 +16dx ≈		8 + 2	[ y(−2) + y(8) + 2[ y(0) + y(2) + y(4) + y(6)] + 4[ y(−1) + y(1) + y(3) + y(5) +
−2			6 5
+ y(7)]].

	m	0	1		2	3	4	5	6	7	8	9	10
	x	-2	-1		0	1	2	3	4	5	6	7	8
f(x)		2.828	3.873		4	4.123	4.899	6.557	8.944	11.874	15.232	18.947	22.978
∫8	x3 +16dx ≈		8 + 2 [2.828 + 22.978 + 2[4 + 4.899 +8.944 +15.232] + 4[3.873 + 4.123 + 6.557 +
−2			6 5
+11.874 +18.947]] = 91.151

Точное значение этого интеграла: 91.173.

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

b − a y

+ y

8 +

2.828 + 22.978

∫ x3 +16dx ≈

n + y1 + y2

+... + yn−1

+3.873

+ 4

+ 4.123 +

−2

+ 4.899 + 6.557 +8.944 +11.874 +15.232 +18.947) = 91.352

2.3.Несобственные интегралы

1.Несобственные интегралы первого рода

Если функция y = f (x) определена и непрерывна на любом отрезке

[a,b], то несобственным интегралом с бесконечным пределом или несобственным интегралом первого рода называется интеграл:

lim ∫

b→+∞ a

lim ∫

a→−∞ a

f (x)dx = +∞∫ f (x)dx или alim→−∞ ∫b		f (x)dx = ∫b	f (x)dx , или
a	a	−∞
f (x)dx +blim→+∞ ∫b	f (x)dx = +∞∫ f (x)dx , с – произвольное число.
c	−∞

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Теоремы о сходимости и расходимости:

1. Если на промежутке [a;+ ∞) непрерывные функции f (x) и ϕ(x) удовле-

+∞

творяют условию: 0 ≤ f (x) ≤ϕ(x) , то из сходимости интеграла ∫ϕ(x)dx сле-

дует сходимости интеграла +∞∫ f (x)dx , а из расходимости интеграла +∞∫ f (x)dx

		a				a
следует расходимость интеграла				+∞	(«признак сравнения»).
следует расходимость интеграла				∫ϕ(x)dx	(«признак сравнения»).
				a
2. Если		при x [a;+ ∞), f (x) > 0, ϕ(x) > 0			и существует конечные предел
	f (x)		+∞		+∞
lim	f (x)	= k ≠ 0 , то интегралы		f (x)dx и		ϕ(x)dx сходятся или расходятся
lim	ϕ(x)	= k ≠ 0 , то интегралы	a	f (x)dx и	a	ϕ(x)dx сходятся или расходятся
x→+∞	ϕ(x)		a		a
x→+∞			∫		∫
одновременно («предельный признак сравнения»).

3. Если сходится интеграл +∞∫	f (x)	dx , то сходится и интеграл	+∞∫ f (x)dx , кото-


a			a

рый в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Примеры:

∞

b = lim(sin b −sin 0) = limsin b - не существует

∫

cos xdx = lim

∫

cos xdx = limsin x

b→∞

несобственный интеграл расходится.

−1 dx

−1

- интеграл сходится.

= lim

−

= lim 1+

−∞ x

∫

b→−∞ ∫

b→−∞

2. Несобственные интегралы второго рода (интеграл от разрывной функции)

Если функция y = f (x) непрерывна на промежутке [a;b) и имеет раз-

рыв II-го рода при x =b , то несобственным интегралом неограниченной функции или несобственным интегралом второго родва называется ин-

теграл: ∫b	f (x)dx = limε→0 b∫−ε f (x)dx или ∫b		f (x)dx = limε→0	∫b	f (x)dx , если функция терпит
a	a	a		a+ε
бесконечный разрыв в точке x = a .
Если функция		f (x) терпит разрыв II-го рода во внутренней точке

c [a;b] , то несобственным интегралом второго рода называют инте-

грал: ∫b	f (x)dx = ∫c	f (x)dx + ∫b	f (x)dx .
a	a	c

Замечание: внутренних точек разрыва II-го рода внутри отрезка может быть несколько.

Теоремы о сходимости и расходимости:

1. Если на промежутке [a;b) функции f (x) и ϕ(x) непрерывны, при x =b

терпит разрыв II-го рода и удовлетворяют условию: 0 ≤ f (x) ≤ϕ(x) , то из

сходимости интеграла ∫b ϕ(x)dx следует сходимости интеграла ∫b			f (x)dx , а из
a		a
расходимости интеграла ∫b	f (x)dx	следует расходимость интеграла ∫b ϕ(x)dx
a			a

(«признак сравнения»).

2. Пусть функции

f (x) и ϕ(x) непрерывны на промежутке [a;b)

и в точке

x =b

терпит

разрыв II-го

рода.

Если

существует

предел

f (x)

lim

= k, 0 < k < ∞, то интегралы

f (x)dx

и ϕ(x)dx сходятся или расхо-

ϕ(x)

x→+∞

∫

дятся одновременно («предельный признак сравнения»).

3. Если функция

f (x) , знакопеременная на отрезке [a;b], имеет разрыв в

точке x =b , и несобственный интеграл ∫b

f (x)

сходится, то сходится и

интеграл ∫b

f (x)dx .

2.4. Задания для самопроверки №2

Вычислить:

Ответ: 6-2ln4

∫

1 +

cos(x)

Ответ:

∫

sin

(x)

0,1

−

Ответ: 0

∫xe

−0,1

Ответ:

∫sin

−

+ 4

Ответ:

∫

−ln 2

cos

(x)

∞

при α >1,

∫1

Ответ:

−1

приβ <1.

∞

Ответ: π

∫

1 + x2

−∞

8. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

a)	1			dx		Ответ: сходится
a)	∫			dx	4	Ответ: сходится
	0		1 − x
	3			dx		Ответ: расходится
b) ∫1				dx
b) ∫1		x2		− 7x +12
c)	∞ arctg(2x)					Ответ: сходится
c)	∫0 π(1 + 4x2 )dx					Ответ: сходится
	1		1
	1		x
d) ∫0		ex3		dx		Ответ: расходится

2.5. Геометрические приложения определенного интеграла

1. Вычисление объём тела по известным площадям параллельных сечений

			Пусть тело, заключеное между двумя
			плоскостями x=a и x=b, имеет площадь
			сечения S(x) при x [a;b], проведенно-
	S(x)		го перпендикулярно к оси Ох, и кото-
			го перпендикулярно к оси Ох, и кото-
			рое является известной и непрерывной
a
		b	изменяющейся при изменении х.
		b

Тогда объем этого тела вычисляется по формуле V = ∫S(x)dx .

2. Объёмы тел вращения

Пусть кривая, задана уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

	y=f(x)	b
	y=f(x)	V = π ∫ f 2 (x)dx , где V – объем тела, полученного вра-
		V = π ∫ f 2 (x)dx , где V – объем тела, полученного вра-
		a

xщением криволинейной трапеции 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b вокруг оси Ох.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025463 Кб3MU_VKR-bakalavry (1).doc
#
01.04.2025256 Кб1My.doc
#
01.05.2025105 Кб1Nachertatelnaya-geometriya-i-inzhenernaya-grafi...doc
#
01.07.2025113 Кб0NALOGI.docx
#
14.02.20152 Мб12nalogovyy-kodekss-chast-1.doc
#
14.02.20151 Мб35neopred_int(математика).pdf
#
01.07.20256 Мб1NOVOE_RASChET_ZAD.doc
#
31.07.201945 Кб20nReferat.ru - Metodika Obucheniya Barernomu Beg....doc
#
14.02.20151 Мб38nwpi221.pdf
#
14.02.20151 Мб82O.A.Platonov-Russkaya_pravda.pdf
#
01.05.2025330 Кб8OAU_2013.docx