elemen_teorija

С учетом (4.5.28) получаем следующее утверждение

Поскольку выбор ν и Λ был произвольным, имеем следствие доказываемой

Всвязи со следствием 4.5.2 полезно напомнить предложение 3.7.2, получая при этом утверждение о поточечной сходимости последовательности неопределенных интегралов.

Взаключении раздела отметим, в порядке иллюстрации свойства непрерывности значений с.-а. меры на монотонных последовательностях измеримых множеств, следующее

Предложение 4.5.5. Если L (alg)[E], f (Meas)[E; L] ∩ B(E), µ

Замечание 4.5.1 С учетом (2.8.2) имеем, что f−1( ]−∞, a[) L a R. Кроме того, согласно предложению 2.8.3 f B(E, L); стало быть, ЯИ

Доказательство предложения 4.5.6. Пусть выполнены следующие

i N

230

Пусть x A. Тогда x E и при этом f(x ) < c, т. е. c − f(x ) ] 0, ∞[ и, следовательно, определено значение

1

c − f(x ) ] 0, ∞[.

Подберем (см. (1.3.3)) N N такое, что

1

c − f(x ) < N.

Последнее означает, как легко проверить, справедливость неравенства

1 f(x ) < c − N ,

т. е. x AN ; см. (4.5.31). Поэтому x содержится в объединении всех

множеств Ai, i N . В итоге

A Ai.

iN

С учетом (4.5.32) получаем следующее равенство:

iN

Кроме того, из (4.5.31) следует, что

Ak Ak+1 k N .

С учетом определений раздела 1.7 и (4.5.33) имеем теперь сходимость

Из (4.2.24) и (4.5.34) вытекает следующее свойство сходимости

231

Это означает, в частности, справедливость следующего неравенства

µ(A)

εµ = < µ(An), (4.5.37)

2

где εµ ] 0, ∞[. По аксиомам алгебры множеств имеем

Как следствие, получаем очевидную оценку

1

fχAn 5 (c − n) · χAn

An

Напомним, что (см.(4.5.29)) справедлива также следующая оценка fχBn 5 cχBn.

232

Но из (4.5.38) и аддитивности µ имеем цепочку равенств

1= µ(E) = µ(An) + µ(Bn).

Сучетом (4.5.42) получаем, следовательно, неравенство

εnµ 6 0,

которое невозможно, т. к. εµ ] 0, ∞[ и n N . Полученное, при условии (4.5.36), противоречие показывает, что само (4.5.36) невозможно и, следовательно, на самом деле µ(A) = 0. С учетом (4.5.30) получаем (при условии (4.5.29)) требуемое равенство

С учетом теоремы 2.8.1 имеем очевидное, но весьма полезное

Следствие 4.5.3. Если L (σ − alg)[E], f B(E, L), µ Pσ(L) и c R,

то

E

Возвращаясь к предложению 4.5.5, отметим, что к.-а. «аналог» данного положения, вообще говоря, неверен (речь идет о случае, когда в качестве µ используется к.-а. вероятность). Рассмотрим соответствующий пример.

Пусть до конца настоящего раздела E = N , Z Π[E] соответствует примеру § 1.7, т. е. Z = Z1 Z2, где Z1 — семейство всех промежутков

−−−→

i, j, i N , j N, а Z2 — семейство всех промежутков m, ∞, m N.

e

Рассмотрим к.-а. вероятность µ∞ T(L) : µ∞(L) = 0 при L Z1, µ∞(L) =

e

= 1 при L Z2. Пусть до конца настоящего раздела

o

L = aE(Z);

233

в этом случае L (alg)[E]. Тогда, в частности, Z L, т. е. Z Π[E]∩P(L). В этом случае определяем f : E → R в виде следующей последовательности:

тогда f (LIM)[R] и, следовательно, f B(E, L); см. (4.4.23). Определяем µ на основе естественного продолжения µ∞ : до конца настоящего раздела полагаем

E

Заметим, что в силу монотонности f имеем при a R свойство

В самом деле, при a ] − ∞, −1] имеет место f−1( ] − ∞, a[) = Z. Если a [0, ∞[, то f−1( ] − ∞, a[) = E Z. Пусть a ] − 1, 0[. Тогда

1 Ξ. С другой стороны, с учетом (1.3.3) имеем, что для некоторого n N

частности, (см.(4.5.45)), что Ξ P′(1, n). Следовательно, имеем свойство

Ξ Fin(N ); см. § 1.4. Тогда r = sup(Ξ) Ξ; см. §§ 1.3, 1.4. Тогда в силу (4.5.45) f(r) < a. Кроме того, по определению f имеем, что

f(k) 6 f(r) < a k 1, r;

тогда в силу (4.5.45) имеем очевидное вложение 1, r Ξ. Далее, по определению r имеем свойство r + 1 / Ξ. Тогда r + 1 N \ Ξ, а потому (см.

234

Поэтому

−−−−−→

Ξ ∩ r + 1, ∞ = .

Стало быть, Ξ 1, r, чем и завершается обоснование равенства Ξ = 1, r, т. е. Ξ Z1. В частности, Ξ Z. Мы установили (см. (4.5.45)), поскольку выбор a был произвольным, что

f−1( ] − ∞, a[) Z a ] − 1, 0[.

Однако ранее было отмечено, что (очевидным образом)

f−1( ] − ∞, a[) Z z ] − ∞, −1] [ 0, ∞[.

Стало быть, выполняется (4.5.44) и, в частности,

В силу (2.8.1) имеем свойство f (Meas)[E; L]. Кроме того, f B(E), т.к.

−1 6 f(k) < 0 k N .

Мы установили, что f (Meas)[E; L] ∩ B(E), где L (alg)[E], есть такая функция, что для к.-а. вероятности µ P(L), определенной ранее, и числа

c = 0 выполняется условие (см.(4.5.43))

( ) (∫ ) f(x) 6 c x E & f dµ = c

E

и, одновременно, оказывается, что

µ(f−1( ] − ∞, c[))= 1

(поскольку в нашем случае f−1( ]−∞, c[) = E и, следовательно, µ(E) = 1). Итак, условие счетной аддитивности меры в предложении 4.5.5 существенно.

§ 4.6. Линейные комбинации мер Дирака

Настоящий параграф имеет иллюстративный характер и касается действия простейших с.-а. мер, а именно: мер Дирака и их линейных комбинаций (см. § 2.4). Фиксируем семейство L, удовлетворяющее (2.2.1). Множество E полагаем непустым. Тогда (см. § 2.4)

235

Предложение 4.6.1. Если f Bo(E, L) и x E, то справедливо равен-

ство

∫(el)

f d(δx | L) = f(x).

E

Доказательство. Фиксируем f и x в согласии с условиями. Подберем с учетом (2.7.2) n N , (αi)i 1,n Rn и (Li)i 1,n ∆n(E, L) так, что при

этом

∑n

Тогда !j 1, n : x Lj. Пусть r 1, n обладает свойством x Lr. Тогда (см. предложение 2.7.1)

При этом по свойствам разбиений x E \ Lj j 1, n \ {r}. Тогда имеем

( ) ( )

δx(Lr) = 1 & δx(Lj) = 0 j 1, n \ {r} .

С учетом (4.6.2), (4.6.3) получаем требуемое свойство:

E

Предложение 4.6.2. Если f B(E, L) и x E, то справедливо равенство

Доказательство. Фиксируем f и x в соответствии с условиями. Используя (2.7.25), подберем последовательность (fi)iN Bo(E, L)N , для которой

236

Тогда в силу предложения 4.6.1 мы получаем систему равенств

С учетом (4.6.5) и (4.6.6) получаем, в частности, сходимость

(∫(el) )

E

С другой стороны, из предложения 3.3.1 и (4.6.5) получаем также свойство сходимости

()

Iµ = f(x) f B(E,L);

интегральный функционал такой меры µ сводится к операции вычисления, отвечающей выбранной наперед точке множества E.

С учетом предложения 2.5.2 и (4.6.1) имеем, в частности, n N

(αi)i 1,n Rn (xi)i 1,n En

∑n

Из (4.6.8), (4.6.9) имеем, в частности, возможность конструировать ЯИ для мер, упоминаемых в этих соотношениях. В дополнение к (4.6.8), (4.6.9) отметим несколько совсем простых свойств, полагая для всякого n N ,

что n { n 6 }

R+ = (xi)i 1,n R | 0 xj j 1, n

237

В свою очередь, из (4.6.1) и (4.6.10) легко следует свойство: n N

(αi)i 1,n Sn (xi)i 1,n En

∑n

i=1

Свойство (4.6.11) может использоваться при построении математического ожидания. В этой связи отметим сначала более общее

Предложение 4.6.3. Если f B(E, L), n N , (αi)i 1,n Rn и (xi)i 1,n

E

С другой стороны, из предложения 3.4.1 с применением индукции получа-

В силу (4.6.11) имеем из предложения 4.6.3 очевидное представление математического ожидания в простейшем случае вероятностного пространства в смысле А. Н. Колмогорова.

238

§4.7. Некоторые конструкции продолжения конечноаддитивной меры

Вглаве 3 был введен ЯИ и приведены его основные свойства для случая очень общего ИП (E, L); см. (2.2.1) и утверждения, полученные в случае ИП с полуалгеброй множеств. В настоящей главе были приведены весьма важные положения, в которых было существенным использование более «совершенных» ИП. В этой связи требуется, как правило, организовать так или иначе продолжение меры с исходной измеримой структуры на структуру, более обширную в смысле запаса множеств. В § 4.3 мы рассмотрели простейший вариант такого продолжения. Упомянутая в § 4.3 процедура обладала при этом универсальностью в том смысле, что она была применимой к любой к.-а. мере, заданной на исходной измеримой структуре (в случае § 4.3 — на полуалгебре п/м E). Если же исходную к.-а. меру зафиксировать, то можно, вообще говоря, ее продолжить, и притом конструктивно, на большее семейство множеств. Такого рода процедуру мы и рассматриваем в данном параграфе и далее в настоящей главе.

Замечание 4.7.1. Если отказаться от идеи конструктивности, то опираясь на теорему Хана-Банаха (см. [10,12,14]), можно говорить о продолжении к.-а. меры ограниченной вариации на семейство всех п/м E; оно не обладает свойством единственности, а обоснование его существования использует лемму Цорна и, следовательно, аксиому выбора. Мы не рассматриваем здесь упомянутое продолжение, связываемое обычно с результатом Тарского (см. [42]).

Напомним некоторые вспомогательные понятия, полагая в дальнейшем E произвольным множеством с алгеброй

п/м E. Итак, (E, L) — произвольное ИП с алгеброй множеств (случай E = = не исключается, хотя и не представляет интереса). Если S P(E), то в согласии с (1.1.38)

(в частности, E [L](S)). Итак, произвольному п/м E сопоставляется непустое подсемейство алгебры L (4.7.1), «составленное» из измеримых множеств, содержащих это п/м. Далее, из (4.7.2) вытекает, что µ

(add)+[L] S P(E)

239