elemen_teorija

справедливо следующее равенство

∑n

u = αiχFi[X × Y ].

i=1

Поэтому, как легко проверить, имеет место представление x−сечения u :

350

При этом в силу (5.5.19) имеем с очевидностью, что

Далее, из (5.5.22) вытекает свойство равномерной сходимости

( )

φi(x, ·) iN φ(x, ·).

Из (2.7.25) и (5.5.23) имеем теперь включение φ(x, ·) B(Y, Y). Поскольку выбор φ был произвольным, установлено требуемое свойство: f(x, ·)

Доказательство. Если F X Y, то F x Y при x X,

()

351

Это означает (см. (5.4.23)), что справедливо свойство

Тем самым установлен следующий простейший вариант нужного нам свойства измеримости функции «внутренних» интегралов:

мы учли предложения 2.7.5 и 3.4.1. Поскольку выбор g был произвольным, установлено, что

352

Отметим, что в силу (3.4.28) и (5.4.9) имеем цепочки неравенств

|ψ(x)| 6 φ(x, ·) 6 φ x X.

Это означает, что ψ B(X) и при этом ψ 6 φ . Подберем последова-

для которой (см. (2.7.4)) имеет место равномерная сходимость

(φi)iN φ.

Тогда в силу (2.6.11) получаем сходимость в смысле sup −нормы пространства B(X × Y ) :

или, что эквивалентно, (ψi)iN ψ. Из (5.5.28) и (5.5.29) вытекает (см. свойство замкнутости (2.7.24)), что

ψ B(X, X).

353

Поскольку выбор φ был произвольным, предложение полностью доказано.

2

С учетом предложения 5.5.2 корректно определяются (см. (5.3.27)) значения

()

ν(·, F · ) = ν(x, F x ) x X ;

при этом согласно предложению 5.4.2 ν(·, F · ) B(X, X) и (см. (5.5.3))

354

цепочку равенств, вытекающую из (5.5.31),

X Y

Коль скоро выбор F был произвольным, установлено, что

∫

χF [X × Y ] d(µ ν) = (µ ν)(F ) =

∑n

g = αiχMi[X × Y ].

i=1

Тогда из определений главы 3 вытекает, что

С другой стороны, из предложения 5.5.1 имеем свойство: g(x, ·) B(Y, Y)

при x X. Более того, из предложения 5.5.2 имеем включение

(∫

B(X, X).

x X

Y

Нас интересует µ−интеграл данной функции, т. е.

∫ ∫

g(x, ·) dν(x, ·) µ(dx) R.

X Y

355

Отметим при этом, что для сечений функции g справедливы равенства:

Как следствие, получаем с учетом (5.4.9), что (см. предложение 5.4.1)

Иными словами, установлено следующее равенство функций (которое фак-

В связи с (5.5.34) отметим, что (см. предложение 5.4.2)

ν(·, Mj · ) = B(X, X) j 1, n.

Сучетом линейности ЯИ главы 3 имеем теперь из (5.5.34), что (см. (5.5.3))

Всилу (5.5.33) имеем теперь окончательное равенство

∫∫ ∫

g d(µ ν) = g(x, ·) dν(x, ·) µ(dx).

X×Y X Y

Коль скоро выбор g был произвольным, установлено, что

φ d(µ ν) R.

X×Y

Подберем (см. (2.7.25)) для функции φ B(X × Y ) последовательность

(φi)iN : N −→ Bo(X × Y, X Y),

356

для которой реализуется следующее свойство равномерной сходимости

(φi)iN φ.

В силу (2.6.11) имеем эквивалентное представление:

Y

357

Мы знаем, однако, что согласно (5.5.35) справедлива (см. (5.5.38)) система равенств

×

С другой стороны, по выбору (φi)i N имеем сходимость интегралов на

Поскольку выбор φ был произвольным, теорема полностью доказана. 2 Итак, мы получили весьма полезное представление математического ожидания в виде повторного интеграла. В своем построении мы рассматривали, следуя идее ЯИ, только случай усреднения ограниченной случайной величины, достаточный для очень многих практических целей. Более общий вариант, в рамках которых предположения об ограниченности подинтегральной функции не используется, читатель найдет, например, в [23, гл.

III].

В связи с применением теорем 5.5.1 и 5.5.2 отметим, в частности, задачи теории статистических решений; см. в этой связи [23, c. 114 – 116].

358

Всвою очередь целый ряд упомянутых задач детализируется в статистической радиотехнике, статистической теории связи. Теорема 5.5.2 может оказаться весьма полезной при определении среднего риска, представляющего собой математическое ожидание случайных потерь, сопровождающих процесс принятия решений в условиях статистической неопределенности.

Всвязи с задачами теории статистических решений отметим, в частности, монографии [2,5].

Рассмотрим далее представление интеграла на измеримом множестве (см. (5.5.15)).

Замечание 5.5.1. В наших предыдущих построениях пара (µ, ν) была зафиксированной; однако никаких дополнительных условий на выбор µ и ν не накладывалось; требовалось лишь, чтобы выполнялось (5.5.1), а ν была бы ПВ относительно ИП (X, X) и (Y, Y). Теорема 5.5.2 позво-

ляет при столь произвольном выборе µ и ν обслуживать операцию на-

можем рассматривать µ и ν как своеобразные управления, выбор которых (в пределах соответствующих множеств) находится в нашем полном распоряжении. Это очень удобно в задачах теории статистических решений, когда упомянутый выбор естественно подчинять соображениям, связанным с экстремумом среднего риска (байесовы решения), либо с реализацией ми-

В связи с рассмотрением представления величин (5.5.15) отметим, что

Мы используем (5.5.42) в связи с тем, что (см. (3.7.4))

∫∫

f d(µ ν) = f χF [X × Y ] d(µ ν)

и, как следствие (см. (5.5.42), предложение 5.5.1)),

( f χF [X × Y ])(x, ·) = f(x, ·) χF [X × Y ](x, ·) = f(x, ·) χF x [Y ]

359