elemen_teorija

Предложение 4.9.3. Если µ (add)+[L], то справедливо равенство

(Car)[E; µ( )] = {H P(E) | ε ] 0, ∞[ L L : µ( )(L H) < ε}.

(4.9.36)

Доказательство. Обозначим через A семейство в правой части (4.9.36). Сравним (Car)[E; µ( )] и A. Пусть M (Car)[E; µ( )], т. е. M P(E) есть множество, измеримое по Жордану-Каратеодори. Выберем произвольно κ ] 0, ∞[ и с учетом предложения 4.9.1 подберем Ao L и Bo L такие, что

(4.9.37)

При этом Ao \ Bo = , а потому справедливо (см. § 1.1) равенство

Ao Bo = Bo \ Ao.

Поэтому µ(Ao Bo) = µ(Bo \ Ao) < κ. Нам, однако, будет полезнее другое свойство. Отметим, что в силу (4.9.37)

Тогда Bo \ Ao [L](Ao M) в силу (4.7.2) и, как следствие (см. (4.7.3)),

( )

µ(Bo \ Ao) µ1 [L](Ao M) ,

откуда согласно определению 4.7.1 следует неравенство

µ( )(Ao M) 6 µ(Bo \ Ao) < κ.

Коль скоро выбор κ, κ > 0, был произвольным, имеем, что

ε ] 0, ∞[ L L : µ( )(L M) < ε.

Тогда M A (см. правую часть (4.9.36)), чем и завершается обоснование вложения

Пусть Ω A, т. е. Ω P(E) и при этом

Пусть γ ] 0, ∞[. С учетом (4.9.40) подберем W L, для которого

280

Напомним, что (см. (4.7.2)) для множества W Ω P(E) определено непустое семейство

[L](W Ω) = {L L | W Ω L}.

В силу (4.7.3) имеем также непустое множество

()

µ1 [L](W Ω) = {µ(L) : L [L](W Ω)} P′([ 0, ∞[),

для которого определена точная нижняя грань. Более того, согласно опре-

Однако в силу (4.9.44) (v / D) (v W \ D). Снова учитывая (4.9.44) в части определения U, получаем импликацию

(v / D) = (v U).

С учетом (4.9.45) получаем, что во всех возможных случаях v U D, чем и завершается проверка вложения V U D, а, стало быть, и равенства

Из (4.2.18) и (4.9.46) вытекает следующее равенство

µ(V ) + µ(U ∩ D) = µ(U) + µ(D).

281

Из (4.9.41) и (4.9.43) следует, однако, неравенство µ(D) < γ; с учетом (4.9.47) имеем теперь очевидное неравенство

Напомним, что W Ω D. Покажем, что U Ω. В самом деле, пусть u U. Тогда в силу (4.9.44) u W и, вместе с тем, u / D. Тем более имеем (по выбору D), что u / W Ω. В частности,

u / W \ Ω

и, стало быть, u W \ (W \ Ω). Это означает, что u W ∩ Ω (см. § 1.1) и, в частности, u Ω. Коль скоро выбор u был произвольным, установлено требуемое вложение U Ω. С другой стороны, Ω V. В самом деле, пусть w Ω. При этом

(w / W ) (w W ).

Имеем, однако, что (w / W ) (w Ω \ W ). Как следствие, истинна

С учетом (4.9.51) имеем, что w V во всех возможных случаях. Поскольку выбор w был произвольным, установлено вложение Ω V. Стало быть,

282

С учетом предложения 4.9.1 имеем, что Ω (Car)[E; µ( )], чем и завершается проверка вложения

A (Car)[E; µ( )],

которое в сочетании с (4.9.39) доставляет требуемое равенство

§ 4.10. Пример, связанный с продолжением меры

Напомним, что в силу предложений 4.8.5 и 4.8.6 справедливо следующее свойство

В связи с (4.10.1) и (4.10.2) возникает естественный вопрос: возможна ли ситуация, когда в (4.10.2) нет равенства. Сейчас мы рассмотрим соответствующий пример.

Итак, полагаем в настоящем разделе, что

Кроме того, пусть L Π[E] определяется равенством (3.9.3) при a = 0 и b = 1, т. е. всюду до конца настоящего раздела

Пара (E, L) — пространство-стрелка, свойства которого рассматривались в § 3.9 (отметим сейчас только свойства 1), 2), приведенные после (3.9.3)). Кроме того,

есть (см. § 3.9) функция длины: l( ) = 0 и

283

Тогда (см. (4.10.5)), в частности, имеем, что

Условимся также о следующем соглашении: всюду до конца настоящего раздела

где L соответствует (4.10.4). Итак, пара (E, A) = ([ 0, 1[, A) есть ИП с алгеброй множеств. Тогда

Вернемся к определению l (нам достаточно сейчас рассматривать l как к.-а. меру, хотя на самом деле справедливо более сильное свойство счетной аддитивности). В согласии с (4.3.27) имеем, что

соглашение (4.10.9) выдерживается на всем дальнейшем протяжении данного параграфа. При этом согласно определению 4.3.1 и (4.10.9) ФМ

µ : A −→ R

определяется правилом: A A n N (Li)i 1,n ∆n(A, L)

Здесь же отметим, что (см. предложение 4.3.3) из (4.10.9) следует свойство:

С учетом (4.10.8) подберем n N так, что при этом ∆n(N, L) ≠ . Последнее свойство позволяет выбрать

284

фиксируем разбиение (4.10.13). С учетом (4.10.10) — (4.10.12) имеем

Поскольку ФМ l неотрицательна, получаем из (4.10.14) следующую систему равенств

см. главу 1. Из (4.10.15) имеем, конечно, свойство:

В самом деле, пусть r 1, n. Тогда Λr L и l(Λr) = 0 (см. (4.10.13), (4.10.15)). Пусть Λr ≠ , тогда

sup(Λr) − inf(Λr) = 0,

т. е. inf(Λr) = sup(Λr). С учетом (3.9.5) имеем тогда в силу (4.10.17), что

Λr = [ inf(Λr), sup(Λr)[= [ inf(Λr), inf(Λr)[= .

Получили противоречие, означающее, что (4.10.17) невозможно (т. е. свойство Λr ≠ невозможно), а потому Λr = . Коль скоро выбор r был произвольным, (4.10.16) установлено. Но тогда (см.(4.10.13))

n

N = Λi = .

i=1

Итак, Nµ { }, что означает (см. § 4.7) равенство Nµ = { }. Но тогда (см.

(4.7.33))

Nµ = { }

и, как следствие (см. (4.7.34)) выполняется равенство

285

Пространство (E, A, µ), следовательно, полно, т. е. содержит все µ−нулевые множества.

Рассмотрим теперь (Car)[E; µ( )], где µ соответствует (4.10.9). Пусть t E (например, можно полагать, t = 12 ). Рассмотрим множество {t }

состоит в том, что {t } [ t , tk[ при k N . С учетом свойства ( ) в § 3.9 получаем, конечно, что при k N

При этом (см. (4.10.7), (4.10.8)) L A и потому

( )

[ t , tk[ kN : N −→ A.

Если ε ]0, ∞[, то с учетом (4.10.19) можно подобрать такое число n N ,

что

µ([ t , tn[) < ε;

Поскольку в этом рассуждении число ε ]0, ∞[ может быть выбрано произвольным, установлено, что (см. предложение 4.9.1) {t } (Car)[E; µ( )].

Данное свойство очевидно, но мы все же его докажем. Допустим (4.10.20) неверно и {t } A. Тогда в силу (4.10.8) можно указать q N такое, что

286

Здесь Γj L j 1, q. В силу непустоты множества {t } и (4.10.22) получаем, что Γr L \ { } при некотором r 1, q, причем Γr {t }. Для

чисел α = inf(Γr) R и β = sup(Γr) R имеем (см. (3.9.5)) равенство

Γr = [α, β[,

причем в силу непустоты Γr непременно α < β. Тогда α Γr и

α + β

γ= Γr \ {α},

2

а между тем (в силу одноэлементности {t } и вложения Γr {t }) α = = t = γ; получено противоречие. Оно показывает, что включение {t } A невозможно и на самом деле справедливо (4.10.20), откуда с учетом (4.10.18) получаем:

{t } (Car)[E; µ( )] \ (A{ }Nµ).

Поскольку выбор t был произвольным, установлено, что

{t} (Car)[E; µ( )] \ (A{ }Nµ) t E. (4.10.23) Из (4.10.23) следует, что алгебры множеств

(Car)[E; µ( )], A{ }Nµ

в рассматриваемом сейчас случае ощутимо различаются.

287

§4.11. Некоторые замечания относительно проблемы продолжения счетно-аддитивной меры

Впредыдущих разделах достаточно подробно рассматривались вопросы, связанные с продолжением к.-а. меры на основе достаточно конструктивных процедур. Отметим здесь же, что получаемое при этом продолжение обладало свойством единственности. Продолжение к.-а. меры с полуалгебры п/м E на алгебру, порожденную данной полуалгеброй, было универсальным относительно исходной меры (определенной на полуалгебре множеств). Конструкции продолжений в §§ 4.7−4.10, напротив, индивидуальны: фиксируется к.-а. пространство с мерой (E, L, µ), где L (alg)[E] и µ (add)+[L], и конструируется новое к.-а. пространство с мерой (E, A, ν), где A (alg)[E] содержит L, т. е. L A, а ν (add)+[A] обладает свойством: µ(L) = ν(L) L L. В качестве одной из целей упомянутого преобразования

(E, L, µ) −→ (E, A, ν)

можно рассматривать обогащение семейства измеримых множеств с целью интегрирования большего числа ярусных функций, поскольку в условиях, упомянутых выше,

B(E, L) B(E, A).

Процедуры продолжения, рассмотренные в §§ 4.7 − 4.9, были в достаточной степени конструктивными (см., в частности, предложения 4.9.1, 4.9.3). Важно и то, что при этом достигалось свойство единственности (см. теорему 4.9.2).

Известны и другие продолжения к.-а. мер, не обладающие, вообще говоря, свойством единственности. Так, с использованием известной теоремы Хана-Банаха и возможности отождествления к.-а. мер ограниченной вариации, определяемых на полуалгебре множеств, и линейных непрерывных функционалов на пространстве ярусных функций можно говорить о существовании ограниченных к.-а. мер на семействе всех п/м E, являющихся продолжением соответствующей исходной к.-а. меры ограниченной вариации; соответствующий результат, принадлежащий Тарскому, см. в [42, c. 292]. При этом для неотрицательных к.-а. мер на исходной полуалгебре п/м E существуют продолжения до неотрицательных к.-а. мер на σ−алгебре P(E) всех п/м E. Однако упомянутые сейчас продолжения не определяются конструктивно, а сам факт их существования устанавливается с использованием аксиомы выбора. В этой связи мы ориентируемся

288

на обозримые конструкции §§ 4.7 − 4.9.

Отметим, однако, что наиболее впечатляющей представляется процедура лебеговского продолжения с.-а. меры; см., например, [10, гл. III], [23, гл. I], [3], [32]. Мы отсылаем заинтересованного читателя к этим публикациям, а сейчас лишь совсем кратко и схематично коснемся одной из интерпретаций (см. [29,30]) процедуры [23, гл. 1]. Подробное изложение данной конструкции приведено в [30]. Условимся о некоторых соглашениях.

Если H — семейство (см. главу 1), то определено множество-объединение

H

HH

ина множестве HN определена операция счетных объединений

на самом деле (4.11.1) — функция и для нее определен образ множества

см. соглашения главы 1 (в частности, см. (1.2.1), (1.2.2)). Кроме того, будем использовать (1.1.38).

Фиксируем множество E и L (alg)[E]. Тогда, в частности, определено

289