elemen_teorija

атогда определено (см. (5.3.27)) значение интеграла

∫∫

f(x, ·) dν(x, ·) µ(dx) R.

X F x

Теперь уже вполне очевидна следующая

Теорема 5.5.3. Если f B(X × Y, X Y) и F X Y, то

∫∫ ∫

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию (5.5.43), полагая для краткости

Как уже отмечалось, при x X для функции (5.5.43), (5.5.46) имеем свойство φ(x, ·) B(Y, Y) и, кроме того, F x Y. Последнее позволяет с

учетом свойства f(x, ·) B(Y, Y) (см. предложение 5.5.1) определить

∫

f(x, ·) dν(x, ·) R.

F x

При этом (см. (5.5.44)) получаем, как следствие, что

360

С учетом (3.7.4), (5.5.46) и теоремы 5.5.2 имеем, однако, цепочку равенств

Комбинируя последнее положение и (5.5.47), получаем требуемое равенство (5.5.45):

∫∫ ∫

§5.6. Измеримые отображения и вырожденные переходные вероятности

До сих пор мы рассматривали измеримые в/з функции и их связь с функциями ярусными; последние также предполагались в/з. В настоящем разделе мы совсем кратко коснемся вопросов структуры (измеримых) отображений одного ИП в другое, ограничиваясь соображениями, связанными с ПВ. Будем следовать при этом соглашению (5.4.1); напомним также, что

Y X = {X −→ Y }

есть множество всех отображений из X в Y.

Определение 5.6.1. Отображение s Y X называем (X, Y)−измеримым (или измеримым в смысле ИП (X, X), (Y, Y)), если

В определении 5.6.1 мы рассматриваем измеримость отображений в традиционном [3, 4, 23, 32] понимании этого свойства; отметим, что в данном определении «задействованы» σ−алгебры п/м X и Y, что не всегда удобно.

361

есть множество всех (X, Y)−измеримых отображений из множества Y X . В связи с (5.6.1), (5.6.2) отметим следующее известное [23, c. 54] положение.

Доказательство. Обозначим через Ω множество в правой части (5.6.3). Поскольку Y (σ − alg)[Y ], имеем (см. § 1.7) σYo (Y) = Y и, как следствие,

Введем в рассмотрение следующее семейство п/м Y :

Из (5.6.6) и (5.6.7) вытекает, что справедливо вложение

Отметим, что T есть σ−алгебра п/м Y. В самом деле, φ−1( ) = X и φ−1(Y ) = X X, откуда вытекает, что

362

Если T1 T и T2 T , то для множества T1 ∩T2 P(Y ) имеем (см. (1.2.8))

свойство:

φ−1(T1 ∩ T2) = φ−1(T1) ∩ φ−1(T2) X,

т. к. φ−1(T1) X и φ−1(T2) X; тогда T1 ∩ T2 T в силу (5.6.7). С учетом (1.7.1), (5.6.9) получаем, что

т. к. X (σ − alg)[X] (см. (5.4.1)); поэтому согласно (5.6.7)

T (i) T .

i N

Коль скоро выбор (T (i))i N был произвольным, установлено, что

Gi T (Gi)i N T N .

i N

С учетом (5.6.11) имеем теперь включение

T (σ − alg)[Y ].

Используя (1.7.13) и (5.6.8), получаем, как следствие, что

T (σ − alg)[Y | S].

Но в этом случае имеем в силу (1.7.14) и (5.6.5) очевидное вложение

Y T .

363

Поэтому (см. (5.6.7)) φ−1(M) X M Y; с учетом (5.6.2)

φ (MEAS)[X; X; Y ; Y].

Вложение Ω (MEAS)[X; X; Y ; Y] установлено, что в сочетании с (5.6.4)

Замечание 5.6.1. Отметим один простой пример применения предложения 5.6.1, фиксируя топологии

В современной математике и в ее приложениях важную роль играют элементы множества

всех непрерывных, в смысле ТП (X, τ) и (Y, θ), функций из множества Y X . Тогда, как легко видеть,

C(X, τ, Y, θ) (MEAS)[X; X; Y ; Y] = (MEAS)[X; σXo (τ); Y ; σYo (θ)].

(5.6.14) В самом деле, пусть φ C(X, τ, Y, θ). Тогда φ Y X и в силу (5.6.13)

Из (5.6.12) имеем, однако, вложение τ X (см. (1.7.13), (1.7.14)), а потому из (5.6.15) следует система включений

Из (5.6.1), (5.6.12) и (5.6.16) вытекает, что справедливо утверждение:

( ) ( ) ( )

θ P P(Y ) : φ (MEAS)[X; X; Y ; θ] & σYo (θ) = Y .

Всилу предложения 5.6.1 имеем с очевидностью включение

φ(MEAS)[X; X; Y ; Y],

364

чем и завершается обоснование вложения (5.6.14). Установлено, что все непрерывные функции, действующие из X в Y, являются борелевскими. На основе (5.6.12), (5.6.14) можно построить много интересных и важных

Вернемся к общему случаю. Воспользуемся понятием меры Дирака (см. § 2.4). Для этого будем полагать, что множество E в § 2.4 совпадает с Y, т. е. E = Y. Это позволяет использовать ФМ (2.4.1) в нашем случае (мы следуем (2.4.1) с тем, чтобы избежать громоздких обозначений): если y Y,

С учетом предложения 2.4.1 имеем, конечно, систему включений

(5.6.19)

)

В (5.6.17), (5.6.18) определена мера Дирака на Y, P(Y ) ; (5.6.19) реализует, строго говоря, ее сужение на σ−алгебру Y. Однако для краткости условимся именовать мерами Дирака сами меры (5.6.19), коль скоро наше рассмотрение, связанное с ПВ, реализуется при фиксированном ИП (Y, Y). Пусть теперь

Рассмотрим далее следующую функцию двух переменных

Легко видеть, что функция (5.6.21) есть отображение

В частности, в (5.6.21), (5.6.22) имеем функцию со значениями в [ 0, 1].

Предложение 5.6.2. Пусть функция ν (5.4.8) определяется по правилу

(5.6.21), (5.6.22), т. е.

Тогда ν удовлетворяет условиям (5.4.9) тогда и только тогда, когда

Φ (MEAS)[X; X; Y ; Y].

365

Доказательство. Пусть ν (5.4.8) действует по правилу (5.6.23). Тогда в силу (5.6.19)

ν(x, ·) = (δ (x)| Y) Tσ(Y) x X

При этом φ(x) = ν(x, T ) = δ (x)(T ) x X. Фиксируем c˜ R и полагаем,

Если c˜ 6 0, то φ−1(M) = (см. (5.6.18)); если c˜ ] 0, 1], то

φ−1(M) = Φ−1(Y \ T ) = X \ Φ−1(T ).

Наконец, при c˜ ]1, ∞[ получаем с очевидностью, что (см. (5.6.18))

φ−1(M) = X.

Итак, мы установили, что при T Y справедливы следующие представле-

ния

( ) (

ν(·, T)−1( ] − ∞, c [) = c ] − ∞, 0] & ν(·, T)−1( ] − ∞, c [) =

ν(·, S)−1( ] − ∞, c[ ) X S Y c R.

Это означает в силу (2.8.1) справедливость включений

ν(·, S) (Meas)[X; X] S Y.

366

Сучетом (5.6.22) получаем, следовательно (см. (2.8.2), теорему 2.8.1), что

ν(·, S) B(X, X) S Y.

Сучетом (5.6.24) имеем теперь, что в случае измеримости Φ

( ) ( )

ν(x, ·) Pσ(Y) x X & ν(·, S) B(X, X) S Y .

Пусть функция ν обладает свойствами (5.4.9); в частности,

ν(·, S) B(X, X) S Y.

Тогда (см. § 2.8) ν(·, S)−1( ] − ∞, c [) X. Выберем произвольно Γ Y и рассмотрим ν(·, Γ) B(X, X). Имеем из (5.6.27), что

ν(·, Γ)−1( ] − ∞, 1 [) = {x X | ν(x, Γ) < 1} = X \ Φ−1(Γ) X.

Поскольку X (alg)[X], то имеем очевидное следствие (см. (1.1.6))

( )

Φ−1(Γ) = X \ X \ Φ−1(Γ) X.

Коль скоро выбор Γ был произвольным, установлено, что

Φ−1(T ) X T Y.

С учетом (5.6.2) имеем включение Φ (MEAS)[X; X; Y ; Y], чем и завершается обоснование импликации

Из (5.6.28), (5.6.29) имеем доказываемое утверждение об эквивалентности (5.4.9) и измеримости отображения Φ. 2

Всюду до конца настоящего параграфа полагаем, что

367

и определяем ν (5.4.8) по правилу (5.6.21)—(5.6.23). В результате получаем из предложения 5.6.2, что ν есть ПВ относительно пары ИП (X, X) и (Y, Y). Итак, выполнено (5.4.9). Дальнейшее построение является по существу иллюстрацией конструкции двух предыдущих разделов и, вместе с тем, подготовительным для введения в следующем параграфе конечнораспределенной ПВ, полезной при рассмотрении некоторых практических задач.

Напомним, что, коль скоро ν соответствует (5.6.21)—(5.6.23), т. е.

есть ПВ, то для функций вида (5.4.13) имеем свойство ярусности (см. предложение 5.4.2): ν(·, F ·) B(X, X) при F X Y. Отметим следующее

В самом деле, ν(·, F ·) принимает в силу (5.6.21), (5.6.22) только два значения: 0 и 1. Пусть

e

A = {x X | ν(x, F x ) = 1};

тогда ν(˜x, F x˜ ) = 0 при x˜ X \ A. Стало быть,

e

Множества A и A совпадают. Действительно, при u A имеем Φ(u) F u , где F u Y в силу предложения 5.4.1, и согласно (5.6.18), (5.6.23)

δ (v)(F v ) = 1,

откуда в силу (5.6.18) имеем включение Φ(v) F v , т. е. v A. Поэтому

Предложение 5.6.3. Если F X Y, то

{x X | Φ(x) F x} X.

368

ивыполняется равенство (5.6.32), (5.6.34), где согласно предложению 5.4.2

ν(·, F · ) B(X, X).

Мы получаем свойство χA[X] B(X, X), из которого в силу (2.8.1) и теоремы 2.8.1 следует, что

Полагаем далее выполненным (5.5.1). Тогда определены (в силу предложения 5.6.3) значения

( )

µ {x X | Φ(x) F x } [ 0, 1] F X Y.

С учетом теоремы 5.5.1 имеем для ν (5.6.31) свойство: µ ν Pσ(X Y).

Предложение 5.6.4. Если F X Y, то справедливо равенство

Доказательство получаем непосредственной комбинацией (5.5.3), (5.6.34)

и предложения 5.6.3. Итак,

( ( ))

µ ν = µ {x X | Φ(x) F x } Pσ(X Y). (5.6.36)

F X Y

В связи с (5.6.36) напомним построения [4, c. 261–263], связанные с мерами Янга. Отметим теперь детализацию теоремы 5.5.2, для чего сначала

рассмотрим конкретизацию предложения 5.5.2. Она весьма очевидна: если

f B(X × Y, X Y), то для ПВ ν (5.6.31)

369