elemen_teorija

Пусть истинна посылка доказываемой импликации (4.12.11). Поэтому опре-

µLi [ 0, ∞[.

iN

Тогда из (4.2.24), (4.12.10) и (4.12.13) имеем сходимость

Из (4.12.12) и (4.12.14) вытекает по определению N, что

()

µLi = 0;

iN

это означает справедливость утверждения следствия доказываемой импликации (4.12.11):

iN

Пусть до конца настоящего параграфа

Из (4.12.10) и (4.12.15) вытекает, что (до конца главы)

есть стандартное пространство с мерой. С учетом (4.7.34), предложения 4.7.10 и определения N имеем, что

Возвращаясь к (4.12.15), отметим очевидное следствие предложения 4.12.2:

iN

(посылка импликации (4.12.11) истинна в силу (4.12.15)). В свою очередь из (4.12.18) вытекает, что

iN

310

Предложение 4.12.3. Семейство (4.12.17) является σ−алгеброй п/м

E :

A (σ − alg)[E].

Доказательство. В силу (4.12.17) достаточно показать, что семейство A замкнуто относительно счетных объединений. Пусть

Тогда (см. (4.12.17)) j N z L × N : Wj = pr1(z) pr2(z). Поэтому

С учетом аксиомы выбора (здесь достаточно т. н. счетной аксиомы выбора)

имеем для

(Wi)iN : N −→ P′(L × N)

∏

следующее свойство непустоты: Wi ≠ . Пусть теперь

iN

∏

(wi)iN Wi. iN

Тогда (wi)iN : N → L × N; при этом очевидно

Wj = pr1(wj) pr2(wj) j N .

Условимся о следующем соглашении: если j N , то

( ) ( )

Λj = pr1(wj) & Nj = pr2(wj) .

Тогда (Λi)iN LN и (Ni)iN NN . Кроме того, имеем систему равенств

iN

311

Поскольку последовательность (4.12.20) выбиралась произвольно, установ-

лено, что

Ai A (Ai)iN AN .

iN

Из предложения 4.12.3 вытекает, что (при условиях (4.12.15) и (4.12.10)) (E, A) есть стандартное ИП. С учетом определения 4.7.2, предложения 4.7.12

и(4.12.17) получаем к.-а. меру

[ ]

λ= µ (add)+[A].

Предложение 4.12.4. Мера λ является с.-а., а именно:

λ (σ − add)+[A].

Доказательство. Напомним, что согласно определению 4.7.2

312

Заметим, что в силу (4.12.17) можно указать последовательности (Λi)i N LN и (Ni)i N NN такие, что выполняется (4.12.21), т. е.

соответствующее рассуждение, использующее (счетную) аксиому выбора, повторяет используемое в доказательстве предложения 4.12.3 и по этой причине опущено в данном изложении. В силу (4.12.15) и (4.12.19) имеем:

при этом в силу (4.12.26), (4.12.27) и (4.12.28) справедливо равенство

W= Λ N.

Сучетом (4.12.25) получаем следующее равенство

При этом по выбору (Λi)i N и (Ni)i N имеем из (4.12.25) очевидные свойства

Из (4.12.28), (4.12.31) получаем очевидное свойство (см. (1.4.8))

(Λi)i N ∆∞[Λ; L].

Из (4.12.10) следует поэтому свойство сходимости

(∑m )

µ(Λi) −→ µ(Λ).

m N

i=1

С учетом (4.12.29) и (4.12.30) получаем, как следствие, утверждение:

(∑m )

λ(Wi) −→ λ(W ).

m N

i=1

Поскольку выбор W и (Wi)i N был произвольным, установлено, что A

A (Ai)i N ∆∞[A; A]

(∑m )

i=1

313

Последнее означает с учетом неотрицательности λ, что λ (σ − add)+[A].

2

С учетом предложений 4.12.3 и 4.12.4 получаем, что

есть стандартное пространство с мерой, называемое пополнением исходного пространства (4.12.16). Дело в том, что (4.12.32) является полным пространством в следующем смысле: Nλ = Nλ. В самом деле, Nλ Nλ;

˜ ˜ ˜ ˜

см. § 4.7. Пусть теперь H Nλ. Тогда H P(E) и при этом H N для

˜

H Nλ, чем и завершается проверка вложения Nλ Nλ. Мы получаем окончательное положение:

Nλ = Nλ A.

Итак, пространство (4.12.32) является полным, а преобразование

может быть охарактеризовано как пополнение пространства (4.12.32); к этому следует добавить очевидное вложение (см. § 4.7) L A. Отметим следующее полезное применение процедуры (4.12.33): в качестве (4.12.16) можно использовать пространство, полученное посредством продолжения с.-а. меры с алгебры множеств на σ−алгебру, порожденную данной алгеброй. Упомянутая конструкция продолжения рассматривалась в предыдущем параграфе и была реализована в виде оператора, действующего из одного пространства мер в другое; она, следовательно, универсальна относительно меры из исходного пространства. Здесь (в (4.12.33)) используется неуниверсальная процедура; она связана с первоначально заданной мерой

314

µ (4.12.10). Сочетание двух вышеупомянутых процедур реализуется в конструкции лебеговского продолжения с.-а. меры, заданной первоначально на алгебре множеств; см. например, [23, c. 43,44].

315

Глава 5

ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

§5.1. Введение

Внастоящей главе мы рассматриваем некоторые конструкции, связанные с мерами и интегралами функций, определенных на декартовом произведении двух непустых множеств. Более содержательная часть построений касается случая колмогоровских вероятностей и математического ожидания в классическом смысле. Следовательно, приводимые далее построения относятся к с.-а. мерам и интегралам по таким мерам. Будем ориентироваться при этом на объект, весьма актуальный для теории вероятностей. Именно, речь пойдет о переходных вероятностях (ПВ), понимаемых в традиционном смысле [23, гл. III], и о способе нахождения математического ожидания с использованием повторного интегрирования. Отметим, что ПВ широко используются в теории цепей Маркова, в задачах теории статистических решений и во многих других разделах. Особенностью нашего рассмотрения здесь (в сравнении с [23, гл. III]) будет использование ЯИ главы 3, что позволяет существенно упростить многие построения, несколько изменяя схемы рассуждений а сравнении с классическим подходом. Итак, мы используем менее традиционную конструкцию в условиях, типичных для вероятностных пространств в смысле А.Н. Колмогорова.

§5.2. Произведение двух измеримых пространств

Всюду в пределах настоящей главы фиксируем множества X и Y. Нам потребуется рассматривать декартово произведение X × Y двух упомянутых множеств (см. (1.1.7)). Мы знаем уже, что X ×Y есть такое единствен-

316

структуры, превращающие каждое из этих множеств в ИП. Сейчас мы

Символ X{×}Y в левой части (5.2.1) использован с тем, чтобы отличать данное семейство от обычного декартова произведения X × Y; последнее есть (см. § 1.1) множество всех упорядоченных пар (A, B), A X, B Y. Отметим одно очевидное свойство множеств вида A × B, где A P(X) и B P(Y ); эти множества называем далее прямоугольниками. Итак,

(A1 × B1) ∩ (A2 × B2) = (A1 ∩ A2) × (B1 ∩ B2) A1 P(X) B1 P(Y )

Предложение 5.2.1. Если X π[X] и Y π[Y ], то

X{×}Y π[X × Y ].

Доказательство. Фиксируем X и Y в согласии с условиями. Тогда

в силу (1.7.1); мы учли здесь, что ( , ) X ×Y и (X, Y ) X ×Y. Выберем произвольно U X{×}Y и V X{×}Y. Тогда (см. (5.2.1)) для некоторого k X × Y имеем равенство

аналогичным образом, из (5.2.1) имеем для некоторого l X ×Y равенство

Разумеется, k и l — суть упорядоченные пары. Из (5.2.2), (5.2.4) и (5.2.5) получаем свойство

317

где в силу (1.7.1) pr1(k) ∩ pr1(l) X и pr2(k) ∩ pr2(l) Y. Следовательно, имеем из (5.2.1) и (5.2.6) включение

Из (1.7.1) (5.2.3) и (5.2.7) вытекает требуемое свойство X{×}Y π[X ×Y ].

2

Предложение 5.2.2. Если X Π[X] и Y Π[Y ], то X{×}Y Π[X ×Y ].

Доказательство. Из предложения 5.2.1 имеем (см.(1.7.3)) включение

Выберем произвольно Λ X{×}Y. Тогда в силу 5.2.1 Λ = A × B, где A X и B Y. С учетом (1.7.3) подберем m N такое, что

318

С учетом (5.2.2), (5.2.10) и (5.2.16) имеем, что при i 1, m

Wi ∩ Λ = (Ai ∩ A) × (Y ∩ B) = (Ai ∩ A) × B = .

Поэтому Wi (X × Y ) \ Λ i 1, m. Далее, из (5.2.2) и (5.2.11) получаем, что при j 1, n

(A × Bj) ∩ Λ = A × (Bj ∩ B) = .

Следовательно, с учетом (5.2.16) получаем, что

Wk ∩ Λ = k m + 1, m + n.

Поэтому Wk (X ×Y )\Λ k m + 1, m + n. С учетом (5.2.14) получили, что

Wk (X × Y ) \ Λ k 1, m + n.

Последнее означает справедливость следующего вложения

m+n

k=1

319