elemen_teorija
.pdfВ самом деле, фиксируем f B(X ×Y, X |
Y) и x X. Тогда Φ(x ) Y |
|||||||||
и (δ |
) |
( |
Y |
) обладает свойством: при всяком выборе h |
|
B(Y, |
Y |
) |
||
(x ) | Y |
|
Tσ |
∫ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
h d(δ (x ) | Y) = h Φ(x ) ; |
|
(5.6.38) |
||||
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
Y
см. предложение 4.6.2, а также (5.6.17) и (5.6.18). Но
|
( |
) |
|
|
|
f(x , ·) = f(x , y) y Y B(Y, Y) |
|
||
согласно предложению 5.5.1. Поэтому из (5.6.38) получаем, что |
|
|||
Y |
|
( |
) |
(5.6.39) |
∫ |
f(x , ·) d(δ (x ) | Y) = f |
x , Φ(x ) . |
||
С другой стороны, из (5.6.23) имеем (см. (5.6.17)) равенство
|
|
( |
|
) |
|
|
|
ν(x , ·) = δ (x ) | Y . |
|
||
С учетом (5.6.39) получаем теперь следующее равенство |
|
||||
|
Y |
|
( |
) |
|
|
∫ |
f(x , ·) dν(x , ·) = f x , Φ(x ) . |
|
||
Поскольку выбор x был произвольным, установлено (5.6.37), а тогда |
|||||
(Y |
) |
( ( |
)) |
f B(X × Y, X |
|
∫ |
f(x, ·) dν(x, ·) |
x X = f x, Φ(x) |
x X |
Y). |
|
С учетом предложения 5.5.2 и (5.6.40) получаем, что |
(5.6.40) |
||||
|
|||||
( ) ( ( ))
f ·, Φ(·) = f x, Φ(x) B(X, X) f B(X × Y, X Y). (5.6.41)
x X
С учетом (5.6.41) определены следующие значения: |
|
|||||
∫ f ·, Φ(·) dµ = ∫ f x, Φ(x) µ(dx) R f B(X × Y, X |
Y). |
|||||
X |
( |
) |
X |
( |
) |
|
Непосредственной конкретизацией теоремы 5.5.2 является следующее очевидное
370
Предложение 5.6.5. При условиях (5.5.1), (5.6.30) и (5.6.31) имеем следующую систему равенств
X×Y |
X |
( |
) |
X |
( |
) |
|
∫ |
f dµ ν = ∫ |
f ·, Φ(·) dµ = |
∫ |
f x, Φ(x) µ(dx) f B(X×Y, X |
Y). |
||
Доказательство извлекается из теоремы 5.5.2 непосредственной подстановкой выражений (5.6.40), (5.6.41).
Мы ограничиваемся здесь данной конкретизацией теоремы 5.5.2, касающейся операции математического ожидания. Отметим только одну смысловую аналогию: конструкция, используемая в предложении 5.6.5, может быть применена в задачах теории статистических решений при формализации действия нерандомизированных решающих правил статистика (см. [5]).
Отметим теперь естественную конкретизацию теоремы 5.5.3, учитывая
предложение 5.6.3). Заметим в этой связи, что в силу (5.5.1), (5.6.41) имеем |
||||
свойство: если f B(X × Y, X Y), F X |
Y и |
|
||
|
|
X | Φ(x) |
F x }, |
(5.6.42) |
AF = {x |
||||
то определено следующее значение |
|
|
||
AF |
( |
) |
|
|
∫ |
f ·, Φ(·) dµ R. |
|
||
Предложение 5.6.6. При условиях (5.5.1), (5.6.30) и (5.6.31) имеем свой-
ство: если f |
|
B(X |
× |
Y, |
X Y |
), F |
X |
Y |
и A |
F |
— множество (5.6.42), |
то |
|
|
|
) |
|
||||||
|
|
|
F |
|
|
AF |
( |
|
|
||
|
|
|
∫ |
f d(µ ν) = ∫ |
f ·, Φ(·) dµ. |
||||||
Доказательство. Фиксируем f, F и AF |
в согласии с условиями. То- |
||||||||||
гда справедливо утверждение теоремы 5.5.3, где ν(·, F · ) соответствует (5.6.40), (5.6.41). Рассмотрим теперь соответствующую этому случаю детализацию внутренних интегралов в (5.5.45). Напомним предложение 3.7.2: при x X
L |
f(x, ·) dν(x, ·) = |
( |
) |
(5.6.43) |
∫ |
|
f(x, ·) ν(x, ·) (L) L Y; |
371
при этом f(x, ·) ν(x, ·) A(Y) (см. определение 3.7.1). Кроме того, F x Y и Y \ F x Y. Учитывая предложение 5.4.1, (5.6.37) и (5.6.43), имеем равенство
∫ |
f(x, ·) dν(x, ·) + |
∫ |
f(x, ·) dν(x, ·) = ∫ f(x, ·) dν(x, ·) = f x, Φ(x) . |
||||||
F x |
|
|
|
|
Y \F x |
Y |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.6.44) |
Если x¯ AF , то (см. (5.6.42)) Φ(¯x) F x¯ , а потому согласно (5.6.18) |
|||||||||
|
|
|
|
ν(¯x, Y \ F x¯ ) = δ(x)(Y \ F x¯ ) = 0. |
(5.6.45) |
||||
С учетом предложения 3.7.4 имеем, однако, |
|
|
|||||||
|
Y |
\ |
F x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∫ |
f(¯x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
·) dν(¯x, ·) 6 f(¯x, ·) ν(¯x, Y \ F x¯ ). |
|
|||||
В силу (5.6.45) получаем при x¯ AF равенство |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
f(¯x, ·) dν(¯x, ·) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y \F x |
|
|
|
откуда имеем, как следствие, что (см. (5.6.44)) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
f(¯x, ·) dν(¯x, ·) = f |
x,¯ Φ(¯x) . |
|
|
|
|
|
|
|
F x |
|
( |
) |
|
Итак, установлено следующее свойство: |
) |
|
|||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
( |
(5.6.46) |
|
|
|
|
|
f(x, ·) dν(x, ·) = f x, Φ(x) x AF . |
|||||
F x
Если же xˆ X \AF , то в силу (5.6.42) Φ(ˆx) Y \F xˆ , а тогда (см. (5.6.18))
|
ν(ˆx, ·)(F xˆ ) = δ(^x)(F xˆ ) = 0. |
(5.6.47) |
Снова используем предложение 3.7.4 в сочетании с (5.6.47) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
f(ˆx, ·) dν(ˆx, ·) 6 f(ˆx, ·) ν(ˆx, F xˆ ) = 0. |
|
F x^ |
|
|
Тем самым установлено следующее свойство |
|
|
|
∫ |
(5.6.48) |
|
f(x, ·) dν(x, ·) = 0 x X \ AF . |
|
F x
372
Из (5.6.41), (5.6.46) и (5.6.48) вытекает (см. (1.5.12)) следующее равенство
(F x |
) |
( |
) |
∫ |
f(x, ·) dν(x, ·) |
x X = f ·, Φ(·) χAF [X]. |
|
Но в этом случае из теоремы 5.5.3 и (5.6.41) вытекает цепочка равенств:
X×Y |
X |
( |
) |
AF |
( |
) |
|
|
∫ |
f d(µ ν) = ∫ |
f |
·, Φ(·) |
χAF [X] dµ = ∫ |
f |
·, Φ(·) |
dµ. |
2 |
Отметим в связи с двумя последними предложениями построения |
[4, |
|||||||
c. 261–263], связанные с мерами Янга, а также конструкции |
[23, гл. III], |
|||||||
относящиеся к интегрированию ПВ. |
|
|
|
|
|
|||
§5.7. Конечно-распределенные переходные вероятности
Внастоящем параграфе рассмотрим один из частных, но весьма полезных, случаев применения ПВ. Речь пойдет о той ситуации, когда ПВ (5.4.8) такова, что с.-а. вероятность, являющаяся ее сечением (см. (5.4.9)) сосредоточена всякий раз на конечном множестве одной и той же мощности. Это будет достигаться применением конечного набора измеримых отображений из множества (5.4.9). Конструкции предыдущего раздела используются при этом в качестве вспомогательного средства. Отметим сначала одно простое свойство общего характера, фиксируя
n N |
(5.7.1) |
на всем протяжении данного параграфа. Кроме того, фиксируем в настоящем параграфе кортеж
(κi)i |
|
: |
1, n |
−→ B+(X, X) |
(5.7.2) |
1,n |
|||||
со следующим свойством: |
|
||||
n |
|
||||
∑i |
(5.7.3) |
||||
|
κi(x) = 1 x X. |
||||
=1
Предложение 5.7.1. Пусть кортеж
(νi)i 1,n : 1, n −→ [0, 1]X×Y
373
обладает свойством: j 1, n
( ) ( )
νj(x, ·) Pσ(Y) x X & νj(·, S) B(X, X) S Y .
Тогда функция ν˜ : X × Y −→ [ 0, 1], для которой
|
n |
|
|
|
∑i |
|
(5.7.4) |
ν˜(x, S) = |
κi(x)νi(x, S) x X S Y, |
||
|
=1 |
|
|
является ПВ относительно ИП (X, X) и (Y, Y), т. е. |
|
||
(ν˜(x, ·) Pσ(Y) x X)& (ν˜(·, S) B(X, X) S Y). |
|
||
Доказательство. Отметим, что при x X |
|
||
n |
|
n |
|
∑ |
|
∑ |
|
ν˜(x , ·) = (i=1 κi(x ) νi(x , S))SY= |
i=1 κi(x ) νi(x , ·) (σ − add)+[Y] |
||
|
|
|
(5.7.5) |
в силу предложения 2.5.3 и свойства неотрицательности функций κ1, · · · , κn и ν1, · · · , νn. Кроме того, в силу (5.7.3)
n |
n |
∑i |
∑ |
ν˜(x , Y ) = κi(x ) νi(x , Y ) = |
κi(x ) = 1. |
=1 |
i=1 |
С учетом (5.7.5) получаем (см. § 2.3), что справедливо свойство
()
ν˜(x , ·) = ν(x , S) SY Pσ(Y).
Поскольку выбор x был произвольным, установлено, что |
|
||||||
|
ν˜(x, ·) Pσ(Y) x X. |
(5.7.6) |
|||||
Фиксируем T Y. Тогда имеем кортеж |
|
||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
(5.7.7) |
|
νi(·, T ) i |
1,n |
: |
|
1, n |
−→ B(X, X). |
|
Из (5.7.4) вытекает, что при всяком x X |
|
||||||
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
∑i |
|
||||
|
ν˜(x, T ) = |
|
κi(x) νi(x, T ). |
|
|||
|
=1 |
|
|
||||
Иными словами, имеем следующее равенство |
|
||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
ν˜(·, T ) = |
|
κi νi(·, T ). |
(5.7.8) |
|||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
∑i |
|
||
374
Отметим, что в силу предложения 2.7.7, (5.7.2) и (5.7.7)
κjνj(·, T ) B(X, X) j 1, n.
Тогда из предложения 2.7.5 и (5.7.8) имеем, что ν˜(·, T ) B(X, X). Поскольку выбор T был произвольным, установлено свойство
ν˜(·, S) B(X, X) S Y. |
(5.7.9) |
Из (5.7.6) и (5.7.9) имеем требуемое утверждение: ν˜ есть ПВ. |
2 |
Выберем произвольно и зафиксируем кортеж измеримых отображений
(Φi)i |
|
: 1, n −→ (MEAS)[X; X; Y ; Y]. |
(5.7.10) |
1,n |
Для отображений Φj, j 1, n, построим соответствующий кортеж ПВ, следуя идее (5.6.21)–(5.6.31). Итак, в духе (5.6.31) полагаем
νj = (δ j(pr1(z))(pr2(z)))z X×Y |
|
|
|
||
j |
1, n. |
||||
Тогда при всяком выборе j |
|
имеем, что |
|
|
|
1, n |
|
|
|
||
νj : X × Y −→ {0; 1} |
(5.7.11) |
||||
есть функция, для которой x X S Y |
|
|
|
||
νj(x, S) = δ j(x)(S). |
(5.7.12) |
||||
Отметим, что для функции (5.7.11), (5.7.12) имеет место очевидное свойство: если j 1, n и x X, то
νj(x, ·) = (δ j(x)| Y).
Из предложения 5.6.2 и (5.7.10) имеем, конечно, свойство ПВ: если j 1, n,
то
( ) ( )
νj(x, ·) Pσ(Y) x X & νj(·, S) B(X, X) S Y . (5.7.13)
Итак, в силу (5.7.13) каждая из функций (5.7.11) является ПВ относительно пары ИП: (X, X) и (Y, Y). Следуя предложению 5.7.1 конструируем функцию
ν : X × Y −→ [ 0, 1] |
(5.7.14) |
посредством следующего правила: x X S Y
|
n |
|
|
∑i |
(5.7.15) |
ν(x, S) = |
κi(x) νi(x, S). |
|
|
=1 |
|
375
Тогда (см. предложение 5.7.1) функция ν (5.7.14), (5.7.15) есть ПВ относительно (X, X) и (Y, Y): для ν (5.7.14), (5.7.15) выполняются условия (5.4.9).
Как и ранее, полагаем зафиксированной с.-а. вероятность (5.5.1). Тогда имеем
|
(µ νi)i |
|
: |
|
−→ Pσ(X Y), |
|
|
|||||
|
|
1, n |
|
|
||||||||
|
1,n |
|
|
|||||||||
а также µ ν Pσ(X |
Y); эти вероятности определяются посредством |
|||||||||||
правил, подобных |
(5.5.3). Что касается мер µ |
|
ν |
, j |
|
1, n, то они опреде- |
||||||
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|||
ляются по правилу, указанному в предложении 5.6.4 при замене Φ одним из отображений Φ1, · · · , Φn. В этой связи мы ограничимся конструированием µ ν, где ν определяется в (5.7.15).
Напомним, что F x Y |
F X |
|
Y; |
см. предложение 5.4.1. Далее, |
||||||||
в согласии с (5.4.14) и предложением |
5.4.2 имеем, что |
|
F |
X |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
||||
(νj(·, F ·) = (νj(x, F x ))x X B(X, X) |
j |
|
)& (ν(·, F ·) = |
|||||||||
1, n |
||||||||||||
( |
F |
) |
|
|
|
x X |
|
|
|
|
||
= ν(x, F x ) |
x x B(X, X)). |
|
|
|
(5.7.16) |
|||||||
Из (5.7.15) вытекает, что при |
|
X |
Y |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∑i |
|
|
|
(x, F x ). |
|
|
|
|
||
ν(x, F x ) = |
κi(x) νi |
|
|
|
|
|||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как следствие, получаем, используя (5.7.16), что |
|
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∑i |
|
|
|
|
|
|
|
(5.7.17) |
||||
ν(·, F ·) = |
κi νi(·, F ·) F X |
|
Y. |
|
||||||||
=1
Отметим, что в (5.7.17) используются произведения функций. С учетом (5.5.3) и (5.7.17) имеем, что
|
n |
|
|
|
|
|
∑X |
|
|
||
(µ ν)(F ) = |
i=1 |
∫ |
κiνi(·, F ·) dµ F X |
Y. |
(5.7.18) |
Условимся теперь о следующем соглашении: если j 1, n и F X Y, то
|
(5.7.19) |
||
Aj[F ] = {x X | Φj(x) F x}. |
|||
С учетом предложения 5.6.3 и (5.7.19) получаем, что |
|
||
Aj[F ] X j |
|
F X Y. |
(5.7.20) |
1, n |
|||
376
|
|
|
|
|
|
|
Предложение 5.7.2. Если j 1, n и F X |
Y, то |
|
|
|||
νj(·, F ·) = χAj[F ][ |
X . |
|
|
|||
|
] |
|
|
|||
|
|
|
Тогда x X |
|||
Доказательство. Пусть φ = νj(·, F ·) и |
|
ψ = χAj[F ][X]. |
||||
φ(x) = νj(x, F x ) = δ j(x)(F x ). |
|
(5.7.21) |
||||
С другой стороны, ψ : X −→ {0; 1} такова, что |
|
|
||||
(ψ(x) = 1 x Aj[F ])& (ψ(x) = 0 x X \ Aj[F ]). |
(5.7.22) |
|||||
Если x Aj[F ], то из (5.6.18), (5.7.19), (5.7.21) и (5.7.22) получаем, что
Φj(x) F x ,
φ(x) = δ j(x)(F x ) = 1 = ψ(x). |
(5.7.23) |
Если же x X \ Aj[F ], то Φj(x) / F x и в силу (5.7.21), (5.7.22)
φ(x) = δ j(x)(F x ) = 0 = ψ(x).
Итак, φ(x) = ψ(x) x X. Стало быть, φ = ψ, что и требовалось доказать.
2
Из (5.7.18) и предложения 5.7.2 получаем (см. (5.7.20)), что
n |
|
|
n |
|
|
|
|
∑X |
|
|
∑Ai[F ] |
|
|
||
(µ ν)(F ) = i=1 ∫ |
κi χAi[F ][X] dµ = i=1 |
∫ |
κi dµ F X |
Y. (5.7.24) |
|||
С учетом (5.7.24) получаем, что в рассматриваемом случае |
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
µ ν = |
∑ |
Pσ(X |
|
||||
i=1 |
∫ |
κi dµ F X Y |
Y). |
(5.7.25) |
|||
( |
|
Ai[F ] |
) |
|
|
|
|
Замечание 5.7.1. Соотношение (5.7.25) согласуется |
с предложени- |
||||||
ем 5.6.4: если полагать n = 1, κ1 = χX [X] и Φ1 = Φ, то (5.7.24) совпадает
с правой частью (5.6.35). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
Возвращаясь к общему случаю, напомним, что при f |
|
B(X |
× |
Y, |
X |
Y |
) |
||||||
определены функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
(Y |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f(x, ·) dνj(x, ·) |
X X B(X, X) j 1, n)& |
|
|
|
|
|
|||||||
|
& ( |
(Y |
f(x, ·) dν(x, ·) |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x X B(X, X)); |
|
|
|
|
|
|
|
||||
377
см. предложение 5.5.1. Из (5.7.15) следует, однако, что
∑n
ν(x, ·) = κi(x)νi(x, ·) x X.
i=1
Поэтому с учетом (5.7.13) имеем с очевидностью (см. предложение 3.4.1) свойство:
|
n |
|
Y |
∑ |
Y |
∫ |
f(x, ·) dν(x, ·) = i=1 κi(x) |
∫ f(x, ·) dνi(x, ·) x X. |
Поэтому (см. (5.7.12)) имеем с очевидностью
|
n |
( |
) |
Y |
∑ |
||
∫ |
f(x, ·) dν(x, ·) = i=1 κi(x)f x, Φi(x) f B(X × Y, X |
||
Y) x X.
Учтем предложение 5.5.2. Тогда,
XY) и j 1, n, что
( |
) |
( |
) |
) |
f ·, Φj(·) = |
(f x, Φj(x) |
|
||
x X
(5.7.26) в частности, имеем при f B(X × Y,
|
(Y |
f(x, ·) dνj(x, ·) |
) |
= |
∫ |
x X B(X, X), |
а тогда определено значение |
|
|
|
|
(5.7.27) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
X |
( |
) |
X |
( |
) |
|
X Y |
|
||
∫ |
f ·, Φj(·) dµ = ∫ |
f x, Φj(x) µ(dx) = ∫ ∫ f(x, ·) dνj(x, ·) µ(dx) R. |
||||||||
Заметим, кстати, что в силу предложения 2.7.7, (5.7.2) и (5.7.27) |
|
|||||||||
|
( |
) |
(κj(x)f |
( |
) |
)x X B(X, X) j |
|
|
(5.7.28) |
|
|
κjf |
·, Φj(·) = |
x, Φj(x) |
|
1, n. |
|||||
Из (5.7.26), (5.7.28) вытекает, что справедливо равенство
(∫
Y
)
f(x, ·) dν(x, ·)
x X
n |
( |
) |
|
∑i |
(5.7.29) |
||
= |
κif |
·, Φi(·) B(X, X). |
|
=1 |
|
|
|
Более того, по теореме 5.5.2 мы имеем совпадение (µ ν)−интеграла f и µ−интеграла функции (5.7.29).
378
Предложение 5.7.3. Если f B(X×Y, X
равенств: |
n ∫ |
κif ·, Φi(·) dµ = |
||
∫ |
f d(µ ν) = |
|||
|
|
∑ |
( |
) |
Y), то справедлива цепочка
n |
∫ κi(x)f x, Φi(x) µ(dx). |
|
∑ |
( |
) |
X×Y |
i=1 X |
i=1 X |
|
|
(5.7.30) |
Доказательство. Используем (5.7.29) и теорему 5.5.2, получая равен-
ство |
|
|
n |
( |
) |
|
X×Y |
X |
∑ |
||
|
∫ |
f d(µ ν) = ∫ |
i=1 κif |
·, Φi(·) |
dµ. |
Окончательное утверждение (5.7.30) получаем, применяя предложение 3.4.1.
2
Обратимся теперь к вопросу о представлении значений (5.5.15); следовательно, речь пойдет о конкретизации теоремы 5.5.3. Точнее, нам следует
получить представление повторного интеграла в правой части (5.5.45). |
||||||
Если f B(X × Y, X |
Y), F X |
Y и x X, то с учетом (5.7.26) |
||||
∫ |
f(x, ·) dν(x, ·) = ∫ f(x, ·) χF x [Y ] dν(x, ·) = |
|
||||
F x |
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
( |
) |
( |
) |
|
|
∑i |
(5.7.31) |
||||
|
= |
κi(x)f x, Φi(x) |
χF x [Y ] Φi(x) . |
|||
|
=1 |
|
|
|
|
|
Полезно учесть и то обстоятельство, что согласно (5.7.28)
( |
) |
( |
) |
)x X = |
|
(κj(x)f x, Φj(x) χF x [Y ] Φj(x) |
|
||||
( |
) |
( |
|
) |
)x X = |
= (κj(x)f x, Φj(x) χF [X × Y ] x, Φj(x) |
|||||
( )( )
= κj · fχF [X × Y ] ·, Φj(·) B(X, X) f B(X × Y, X
F X Y j 1, n.
Y)
Сучетом (5.7.31) имеем теперь следующее представление: при f B(X ×
Y, X Y) и F X Y
( ∫
F x
)
f(x, ·) dν(x, ·)
x X
n |
( |
)( |
) |
∑i |
|||
= |
κi · fχF [X × Y ] ·, Φi(·) ; |
||
=1 |
|
|
|
379