elemen_teorija
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
′ |
P |
(E) |
|
( ˜) |
есть мно- |
|||
Напомним сейчас, что для всякого семейства L P |
|
|
: |
|
B |
L |
||||||||||||||||||
жество всех ограниченных в/з ФМ, определенных |
на |
L |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
( |
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
˜ |
|
|
µ |
|
~ |
|
c |
|
, |
µ L |
c L |
|
|
˜ . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
R |
L |
|
[ 0 |
|
|
|
|
(4.11.4) |
||||||||||
|
|
|
B(L) = |
{˜ |
|
| |
|
∞[ : |˜( )| 6 |
|
|
L} |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
Условимся также о следующем обозначении: если ν B(L), то |
|
|||||||||||||||||||||||
||| |
ν |
~ |
|
[ 0, |
∞ |
[. |
|
|||ν|||L~ = sup(|ν(L)| : L L˜}); |
|
|
|
|
′ |
P |
(E) |
опреде- |
||||||||
|
|||L |
|
|
Тем самым для всякого семейства H P |
|
|
||||||||||||||||||
лена sup−норма |
ν −7→ |||ν|||H : B(H) −→ [ 0, ∞[, |
|
|
|
( |
|
) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.11.5) |
||||||||||
которую в дальнейшем обозначаем через |||·|||H (имеется в виду отображе- |
||||||||||||||||||||||||
ние (4.11.5)); итак, |
( |
|
), |
|||·|||H) |
есть линейное нормированное простран- |
|||||||||||||||||||
ство. |
|
|
|
|
|
(B H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отметим без доказательства ряд хорошо известных фактов (см., например, [3,4,10,23,32,34]). Они касаются свойств ИП с алгебрами и σ−алгебрами множеств и мер на таких ИП. Так, в частности, отметим, что
˜ |
˜ |
˜ |
˜ |
|
|
(4.11.6) |
A(L) = (add)[L] ∩ B(L) |
L (alg)(E). |
|||||
|
|
˜ |
˜ |
o |
(L). |
|
В частности, (4.11.6) справедливо при L |
= L и L |
= σE |
|
|||
Отметим без доказательства положения, связанные с разложением Жордана (см. [3,10,23]), ориентируясь, однако, на [28] в связи с основной, для настоящей монографии, схемы, касающейся к.-а. мер на полуалгебре множеств. Легко видеть, что H Π[E] ν A(H) H H
(VAR)H [ν] [ 0, Vν];
см. § 2.2. С учетом этого весьма очевидного свойства и положений § 2.2 имеем, что при всяком выборе H Π[E] и ν A(H) определяется ФМ
vν = (sup((VAR)H [ν]))H H, |
|
действующая из H в [ 0, ∞[, т. е. |
|
vν : H −→ [ 0, ∞[; |
|
более того, из построений § 2.2 и [28, § 12] имеем важное свойство: |
|
vν (add)+[H] : vν(E) = Vν. |
(4.11.7) |
290
В согласии с (4.11.7) имеем тогда H Π[E] ν A(H)
(ν+ = |
1 |
(vν + ν) (add)+[H])& |
(ν− = |
1 |
(vν − ν) (add)+[H]); |
|
|
||||
2 |
2 |
см. [28, c. 103]. Тогда, как следствие, имеем ν A(H) (ν = ν+ − ν−) & (vν = ν+ + ν−).
(4.11.8)
(4.11.9)
В (4.11.9) имеем вариант известного [3,10,23] разложения Жордана, приспособленный для случая исследования к.-а. мер ограниченной вариации на полуалгебре множеств. Отметим, однако, что само обоснование (4.11.9) для этого случая удобно проводить (как и в [28]) на основе более традиционной версии упомянутого разложения, привлекая ИП с алгеброй множеств и процедуру продолжения § 4.3. В упомянутой традиционной версии разложения Жордана полезно иметь в виду (4.11.6), а также следующее легко проверяемое свойство:
Vν 6 2 |||ν|||H H (alg)[E] ν A(H). |
(4.11.10) |
Разумеется, в качестве H можно использовать L и σEo (L). Наконец, отметим полезное следствие разложения Хана (см. [10, гл. III]):
(σ − add)[F] B(F) F (σ − alg)[E]; |
(4.11.11) |
см. также [3, гл. 3]. С учетом (4.11.6) и (4.11.11) имеем, в частности, что (см. [3, гл. 3])
(σ − add)[F] A(F) F (σ − alg)[E]; |
(4.11.12) |
Как частный случай имеем из (4.11.6) и (4.11.12) цепочку вложений |
|
(σ − add)[σEo (L)] A(σEo (L)) B(σEo (L)). |
(4.11.13) |
Сейчас совсем кратко будет введено одно (не вполне традиционное) представление продолжения с.-а. меры, определенной первоначально на L, до с.-а. меры на σEo (L). В основе этого представления находится идея определения значений продолженной меры как минимакса. Для этого заметим прежде всего, что (см. (4.11.3)) при всяком выборе µ (add)+[L] и
H P(E)
|
|
|
{µ(L) : L L ∩ P(H)} P′([ 0, µ(E)]); |
|
|
||||||
поэтому определено (см. глава 1) значение |
|
)}) [ 0 |
|
|
|
||||||
L L∩P(H) |
( |
L |
) = sup({ |
( ) : |
L |
L ∩ P( |
H |
( |
)] |
(4.11.14) |
|
sup |
µ |
|
µ L |
|
|
, µ |
E . |
|
|||
291
В качестве H можно, конечно, использовать множества из семейств (4.11.2), которые, как уже было отмечено, являются непустыми. Во всяком случае при µ (add)+[L] и S P(E)
|
sup |
µ(L) : H |
∞ |
|
S |
)} P |
′ |
[ 0, µ(E)] |
) |
|
|
{L L∩P(H) |
|
[{ 1 }(L)]( |
|
( |
|
||||
и, следовательно, определена точная нижняя грань |
|
|
|
|
||||||
|
|
inf |
sup |
µ(L) = |
|
|
|
|
||
|
|
H [{ 11}(L)](S) L L∩P(H) |
|
|
|
|
|
|
||
= inf |
sup |
µ(L) : H |
∞ |
( ) (S) |
[ 0, µ(E)]. |
(4.11.15) |
||||
|
({L L∩P(H) |
[{ 1 |
} L ] |
|
}) |
|
|
|
||
Разумеется, построения на основе (4.11.14) и (4.11.15) могут выполняться в случае µ (σ − add)+[L], который в теории лебеговского продолжения меры представляет основной интерес. В качестве следствия этой теории можно отметить тот факт, что µ (σ − add)+[L]
o |
|
inf |
sup µ(L) |
)M σEo (L) |
(σ |
− |
o |
( )]. |
λ |
[µ] = |
add)+[σE |
||||||
|
|
(H [{ 11}(L)](M) L L∩P(H) |
|
|
L |
|||
(4.11.16) Данное свойство (см. (4.11.16)), отмеченное в [29], нетрудно извлечь из схемы продолжения меры в [23, гл. I], куда мы и отсылаем заинтересованного читателя, рекомендуя при этом рассмотреть доказательства в [23, § I,5]. Сейчас ограничимся обсуждением (4.11.16): если µ (σ −add)+[L], то ФМ λo[µ] : σEo (L) → [ 0, µ(E)], определяемая правилом
λo |
µ M |
inf |
sup |
µ(L) |
M |
|
σo |
, |
[ |
]( ) = |
H [{ 11}(L)](M) L L∩P(H) |
|
E |
(L) |
|||
обладает свойством счетной аддитивности, т. е. |
|
|
|
|
||||
|
|
λo[µ] (σ − add)+[σEo (L)]; |
|
|
|
(4.11.17) |
||
кроме того, как легко проверить, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
λo[µ](L) = µ(L) |
L L. |
|
|
|
(4.11.18) |
|
Из (4.11.17), (4.11.18) следует, что при µ (σ − add)+[L] ФМ λo[µ] есть продолжение µ до с.-а. неотрицательной меры на σEo (L), так как
µ = (λo[µ] | L).
292
Отметим, что такое продолжение единственно: µ (σ − add)+[L] ν
(σ − add)+[σEo (L)]
Отметим здесь же,( |
µ(L) = ν(L) L L = (λo[µ] = ν). |
(4.11.19) |
|
что правило минимакса,) |
используемое в (4.11.16), опре- |
||
деляет на самом деле с.-а. меру на еще более обширной (вообще говоря) σ−алгебре в сравнении с σEo (L), причем свойство, подобное (4.11.19), также сохраняется для продолженной меры; мы не будем этот вопрос здесь обсуждать, отсылая к [23, гл. I]. Для нас сейчас достаточна комбинация (4.11.16) — (4.11.19). Отметим без доказательств некоторые весьма очевидные возможности, связанные с представлением (4.11.16).
Прежде всего при всяком выборе µ (σ − add)+[L] мера (4.11.17) определяет единственное (см. (4.11.19)) продолжение µ до с.-а. меры на σ−алгебре σEo (L), порожденной алгеброй L. Здесь мы имеем факт продолжения неотрицательной с.-а. меры. Однако некоторые важные свойства, связанные с (4.11.9) - (4.11.13), распространяются на знакопеременные меры. Мы их рассмотрим; однако сначала отметим одно непосредственное следствие свойства (4.11.16). Учитываем при этом, что при всяком выборе
µ (σ − add)+[L] и ν (σ − add)+[L] непременно µ − ν B(L) и
λo[µ] − λo[ν] B σEo (L) ; |
|
эти свойства позволяют определить значения( |
) |
( ) ( )
||| µ − ν |||L [ 0, ∞[ & ||| λo[µ] − λo[ν] |||σEo (L) [ 0, ∞[ .
Более того, из (4.11.16) и (4.11.18) вытекает следующее свойство изометричности µ (σ − add)+[L] ν (σ − add)+[L]
||| µ − ν |||L = ||| λo[µ] − λo[ν] |||σEo (L). |
(4.11.20) |
Теперь вернемся к вопросу о продолжении знакопеременных с.-а. мер, обращаясь к (4.11.9). В этой связи отметим, что в силу (4.11.6), (4.11.7) при µ (σ − add)[L] ∩ B(L) определена к.-а. мера vµ (add)[L] (мы учитываем, что алгебра L является, в частности, полуалгеброй п/м E) и, как следствие, µ+ (add)+[L], µ− (add)+[L] реализуют (см. (4.11.9)) следующую пару равенств:
( µ = µ+ − µ− ) & ( vµ = µ+ + µ− ). |
(4.11.21) |
Эти свойства допускают усиление, поскольку (при µ (σ−add)[L] ∩ B(L))
vµ (σ − add)+[L] |
(4.11.22) |
293
и, как следствие (см. (4.11.8), |
|
(µ+ (σ − add)+[L])& (µ− (σ − add)+[L]). |
(4.11.23) |
В связи с (4.11.22), (4.11.23) см., например, [23, гл. IV]. Свойства (4.11.22), (4.11.23) позволяют применять конструкцию на основе (4.11.16) к компонентам разложения Жордана. Итак, µ (σ − add)[L] ∩ B(L)
λ |
|
µ |
|
λo |
µ+ |
] − |
λo |
µ− |
] ( |
σ |
|
σo |
. |
(4.11.24) |
|
o[ |
|
] = |
[ |
|
[ |
|
|
− add)[ E(L)] |
|
||||
В силу (4.11.18) и (4.11.23) получаем очевидное свойство: если |
µ |
|||||||||||||
(σ − add)[L] ∩ B(L), то (см.(4.11.21)) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
λo[µ](L) = µ(L) |
L L. |
|
(4.11.25) |
|||||
Итак, в (4.11.24) мы имеем следующее важное свойство: при µ (σ − add)[L] ∩ B(L) мера λo[µ] есть продолжение µ до с.-а. меры на σEo (L), которая (см. (4.11.13)) ограничена и имеет ограниченную вариацию. Меры λo[µ+] и λo[µ−], участвующие в (4.11.24), допускают каждая представление посредством минимакса (см. (4.11.16)). Стало быть, при M σEo (L) значение λo[µ](M) представимо в виде разности двух минимаксов, подобных используемым в (4.11.16); см. в этой связи также представление [29, (2.8)]. Мы получили оператор
µ 7→− λo[µ] : (σ − add)[L] ∩ B(L) −→ (σ − add)[σEo (L)] |
(4.11.26) |
продолжения ограниченных с.-а. мер, первоначально заданных на алгебре L п/м E. Для краткости, условимся обозначать оператор (4.11.26) через EL; стало быть,
EL : (σ − add)[L] ∩ B(L) −→ (σ − add)[σEo (L)] |
(4.11.27) |
действует по следующему правилу: если µ (σ − add)[L] ∩ B(L), то
EL(µ) = λo[µ] = λo[µ+] − λo[µ−]. |
(4.11.28) |
Некоторые свойства оператора EL мы рассмотрим в дальнейшем. Прежде всего отметим (см. [30]), что (4.11.20) допускает развитие до аналогичного свойства EL :
||| µ |||L = ||| λo[µ] |||σEo (L) = ||| EL(µ) |||σEo (L) µ (σ − add)[L] ∩ B(L).
(4.11.29)
294
Здесь в дополнение к (4.11.20) полезно учесть, что при µ (σ − add)[L] ∩
B(L) и M σEo (L)
|λo[µ](M) | = | λo[µ+](M) − λo[µ−](M) | 6 sup({λo[µ+](M); λo[µ−](M)}),
атакже свойства, связанные с разложением Жордана ограниченной меры на алгебре множеств (см. [28, c. 106], [23, гл. IV]); кроме того, следует учитывать (4.11.16). В целях полноты изложения напомним упомянутые свойства.
Прежде всего отметим, что при µ A(L) и L L в силу (4.11.6)
c [ 0, ∞[ : {µ(H) : H L ∩ P(L)} P′(] − ∞, c]); |
(4.11.30) |
в связи с (4.11.30) напомним, что L ∩ P(L) и µ( ) = 0. Более того, отметим (см. [28, c. 106]), что
( )
µ+(L) = sup {µ(H) : H L ∩ P(L)} = sup µ(H) µ A(L) L L.
H L∩P(L)
(4.11.31) Полезно связать свойство (4.11.30), (4.11.31) с (4.11.14) и, как следствие, с (4.11.16); мы имеем в виду здесь вопросы, связанные с обоснованием (4.11.29). Отметим, что при µ (σ − add)+[L] и ν (σ − add)+[L] непре-
менно |
(4.11.32) |
µ + ν (σ − add)+[L] |
|
и, как следствие, имеем |
|
λo[µ + ν] (σ − add)+[L]. |
(4.11.33) |
Предложение 4.11.1. Если µ (σ − add)+[L] и ν (σ − add)+[L], то
λo[µ + ν] = λo[µ] + λo[ν].
o |
o |
[ν] |
o |
(L)] имеем |
Доказательство. Для меры η = λ |
[µ]+λ |
(σ−add)+[σE |
||
очевидное свойство: L L |
|
|
|
|
η(L) = λo[µ](L) + λo[ν](L) = µ(L) + ν(L) = (µ + ν)(L) |
||||
(см. (4.11.19)). Из (4.11.19) и (4.11.32) имеем теперь, что |
|
|||
η = λo[µ+ν]. |
|
|
2 |
|
Следствие 4.11.1. Если µ1 (σ − add)+[L], µ2 |
(σ − add)+[L], ν1 |
|||
(σ − add)+[L] и ν2 (σ − add)+[L], то |
|
|
|
|
( µ1 − µ2 = ν1 − ν2 ) = ( λo[µ1] − λo[µ2] = λo[ν1] − λo[ν2] ).
295
Доказательство. Пусть µ1 − µ2 = ν1 − ν2. Тогда
µ1 + ν2 = ν1 + µ2
и в силу предложения 4.11.1 получаем:
λo[µ1] + λo[ν2] = λo[µ1 + ν2] = λo[ν1 + µ2] = λo[ν1] + λo[µ2],
откуда извлекается требуемое равенство
λo[µ1]−λo[µ2] = λo[ν1]−λo[ν2]. |
2 |
Если µ (σ − add)+[σEo (L)], то (µ | L) (σ − add)+[L] и, как следствие,
определена мера
λo[(µ |L)] (σ − add)+[σEo (L)].
Предложение 4.11.2. Если ν (σ − add)+[σEo (L)], то ν = λo[(ν | L)].
Доказательство. Для η = (ν | L) (σ − add)+[L] имеем свойство:
|
η(L) = ν(L) L L. |
В силу (4.11.19) λo[η] = ν. |
2 |
Предложение 4.11.3. Если µ (σ−add)[L] ∩ B(L) и ν (σ−add)[σEo (L)],
то
(µ(L) = ν(L) L L )= ( λo[µ] = ν ). |
(4.11.34) |
Доказательство. Пусть µ(L) = ν(L) при L L, т. е. µ = (ν | L).
Используя (4.11.8), (4.11.9) и (4.11.13) при H σEo (L), получаем (здесь ситуация аналогична (4.11.23)), что меры ν+ (σ − add)+[σEo (L)] и ν− (σ − add)+[σEo (L)] (мы опускаем проверку счетной аддитивности, адресуя читателя к [3,23]) реализуют равенство
|
|
|
|
|
|
|
|
ν = ν+ − ν−. |
|
|
|
|
|
(4.11.35) |
|
Тогда µ = |
( ν+| L ) − ( ν−| L ), где (ν+| L) |
(σ − add)+[L] и (ν−| L) |
|||||||||||||
(σ − add)+[L], причем согласно предложению 4.11.2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ν+ |
|
λo[( ν+ |
|
)] & ν− = λo[( ν− |
|
)] . |
|
|||||
Поскольку |
µ |
+ |
( |
= |
|
+ |
|
| L |
) ( |
|
+ |
|
| L |
) |
(4.11.36) |
|
− µ− = ( ν |
|
| L) − ( ν−| L), где µ |
|
(σ − add)+[L] и µ− |
||||||||||
(σ − add)+[L], имеем из следствия 4.11.1, что
λo[µ+] − λo[µ−] = λo[( ν+| L)] − λo[( ν−| L)] = ν+ − ν−;
296
мы учли (4.11.36). Но тогда из (4.11.24) и (4.11.35) вытекает требуемое равенство λo[µ] = ν, чем и завершается обоснование импликации (4.11.34).
2
Мы установили свойство единственности продолжения меры, осуществляемого оператором EL (4.11.26).
Предложение 4.11.4. Оператор EL есть биекция (σ − add)[L] ∩ B(L)
на (σ − add)[σEo (L)] :
[ ]
EL (bi) (σ − add)[L] ∩ B(L); (σ − add)[σEo (L)] .
Доказательство. Проверим свойство сюръективности EL. Пусть ν
o |
|
(σ − add)[σE |
(L)]. Тогда µ = ( ν| L) (σ − add)[L] ∩ B(L) удовлетворяет |
условию посылки импликации (4.11.34) (см. предложение 4.11.3). Стало быть,
ν = λo[µ] = EL(µ) Im(EL).
Поскольку выбор ν был произвольным, установлено вложение
(σ − add)[σEo (L)] Im(EL);
см. § 1.2. Поскольку противоположное вложение очевидно (см. (4.11.27)), имеем равенство
Im(EL) = (σ − add)[σEo (L)]
и, как следствие, требуемое свойство сюръективности:
EL (σ − add)[σEo (L)]((σ)−add)[L]∩B(L). |
(4.11.37) |
Пусть µ1 (σ − add)[L] ∩ B(L) и µ2 (σ − add)[L] ∩ B(L) таковы, что
EL(µ1) = EL(µ2).
Тогда (см. (4.11.28)) λo[µ1] = λo[µ2]. В итоге (см. (4.11.25))
µ1 = ( λo[µ1] | L ) = ( λo[µ2] | L ) = µ2.
Мы установили следующую импликацию
( )
EL(µ1) = EL(µ2) = (µ1 = µ2).
Поскольку выбор µ1 и µ2 был произвольным, установлено (см. (4.11.37)),
что EL — биекция (σ − add)[L] ∩ B(L) на (σ − add)[σEo (L)]. |
2 |
297
Отметим,o |
что (σ − add)[L] ∩ B(L) (LIN)[RL] и (σ − add)[σEo (L)] |
(LIN)[RσE(L)]. Тогда |
|
(EL(αµ) = λo[αµ] (σ −add)[σEo (L)] α R µ (σ −add)[L] ∩ B(L))& |
|
& (EL(µ + ν) = λo[µ + ν] (σ − add)[σEo |
(L)] µ (σ − add)[L] ∩ B(L) |
ν (σ − add)[L] |
∩ B(L)). |
Предложение 4.11.5. Оператор EL линеен:
( )
EL(αµ) = α EL(µ) α R µ (σ − add)[L] ∩ B(L) &
(
& EL(µ + ν) = EL(µ) + EL(ν) µ (σ − add)[L] ∩ B(L)
)
ν (σ − add)[L] ∩ B(L) . (4.11.38)
Доказательство. Пусть a R и η (σ − add)[L] ∩ B(L). Тогда aη
(σ − add)[L] ∩ B(L) и
aλo[η] (σ − add)[σEo (L)]
обладают следующими свойствами: (см. 4.11.25)):
(aη)(L) = aη(L) = aλo[η](L) = (aλo[η])(L) L L.
В этом случае согласно предложению 4.11.3 имеем равенство
EL(aη) = λo[aη] = aλo[η] = a EL(η).
Коль скоро выбор a и η был произвольным, первое положение в (4.11.38)
установлено. Пусть теперь |
|
|
(η1 (σ − add)[L] ∩ B(L))& (η2 (σ − add)[L] ∩ B(L)). |
o |
(L)] |
Тогда меры η1 + η2 (σ −add)[L] ∩B(L) и λo[η1] + λo[η2] (σ −add)[σE |
||
таковы, что (см. (4.11.25))
(η1 + η2)(L) = η1(L) + η2(L) = λo[η1](L) + λo[η2](L) = = (λo[η1] + λo[η2])(L) L L.
298
С учетом предложения 4.11.3 получаем, что
EL(η1 + η2) = λo[η1 + η2] = λo[η1] + λo[η2] = EL(η1) + EL(η2).
Коль скоро выбор η1, η2 был произвольным, установлено, что второе положение в (4.11.38) также справедливо. 2 Из предложений 4.11.4, 4.11.5 вытекает, что оператор EL (4.11.26) является линейным изоморфизмом. Теперь полезно учесть (4.11.29). Условимся,
однако, о соглашении: если A (alg)[E] и µ (σ − add)[A] ∩ B(A), то
(s)
µ A = ||| µ |||A.
В этой связи для всякой алгебры A (alg)[E] через · (As) обозначаем, как обычно, функционал
µ 7→− µ A(s) : (σ − add)[A] ∩ B(A) −→ [ 0, ∞[, |
(4.11.39) |
являющийся нормой линейного пространства (σ−add)[A] ∩ B(A). С учетом (4.11.11) и (4.11.13) имеем, в частности, что
(s) |
= ||| µ |||σEo (L) |
µ (σ − add)[σEo (L)]. |
||
µ σEo (L) |
||||
В согласии с (4.11.39) имеем, что (см. (4.11.13)) |
(s) |
есть функционал |
||
· σEo (L) |
||||
µ 7−→ µ (σso)(L) : (σ − add)[σEo (L)] −→ [ 0, ∞[,
E
являющийся нормой пространства (σ − add)[σEo (L)]. Из (4.11.29) имеем теперь в новых обозначениях свойство
(s) |
(s) |
(s) |
µ (σ−add)[L] ∩ B(L). (4.11.40) |
µ L |
= λo[µ] σEo (L) |
= EL(µ) σEo (L) |
Из предложений 4.11.4, 4.11.5 и из (4.11.40) получаем следующее положение
Теорема 4.11.1. Оператор EL есть изометрический изоморфизм линейных нормированных пространств
( )
.
Отметим теперь несколько простых «порядковых» свойств оператора EL. Для этого напомним сначала, что
OL (σ − add)[L] ∩ B(L);
299