Средняя гармоническая

Средняя арифметическая, как было показано выше, применяется в тех случаях, когда известны варианты варьирующего признака и их частоты .

Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение , применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим , откуда . Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся Данным и можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной (5.4) вместо подставим , вместо - отношение и получим формулу средней гармонической взвешенной.

. (5.9)

Из формулы (5.9) видно, что средняя гармоническая - средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужна определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.

Например, по данным (табл. 5.5) требуется определить среднюю цену 1 кг картофеля.

Таблица 5.5

Цена и выручка от реализации по трем коммерческим магазинам в октябре 1996 г.

Номер магазина	Цена картофеля, руб/кг,	Выручка от реализации, млн. руб.,	Частота (количество реализованных едениц), кг,
1-й 2-й 3-й	800 1000 900	24 15 18	30000 15000 20000
Итого	-	57	65000

Расчет средней цены выражается соотношением:

.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая, исчисляемая по формуле:

, (5.10)

где - отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; - число вариантов.

Средняя геометрическая

Применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени из произведений отдельных значений - вариантов признака :

,

где - число вариантов; П - знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

Структурные средние

Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода - значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду - вариант, имеющий наибольшую частоту.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

, (5.16)

где - нижняя граница модального интервала; - модальный интервал; , , - частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).

Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п.

Медиана - это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

Пусть ряд состоит из показателей заработной платы 9 рабочих, тыс. руб. в месяц (в 1996 г.):

630, 650, 680, 690, 700, 710, 720, 730, 750.

Номер медианы для нечетного объема вычисляется по формуле:

,

где - число членов ряда.

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака . Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле:

, (5.17)

где - нижняя граница медианного интервала; - медианный интервал; - половина от общего числа наблюдений; - сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала, - число наблюдений в медианном интервале.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.