19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Определение. Случайный векторназываетсядискретным, если множество его возможных значений конечно или счетно:

или ,

где .

			…		(3.2)
			…
			…
			…

Из определения следует, что случайный вектор является дискретным тогда и только тогда, когда все его координаты, являются дискретными случайными величинами.

Рассмотрим более подробно случай двумерного дискретного случайного вектора , принимающего конечное число значений

Как и в одномерном случае, подобную информацию о дискретном случайном векторе записывают в виде таблицы, но с двумя входами: -------табличка

которую называют законом распределениядискретного случайного вектора(двумерным дискретным законом распределенияилисовместным законом распределениядискретных случайных величини).

График функции распределения дискретного случайного вектораявляется кусочно-постоянным со скачками в точках, являющихся его возможными значениями, величина которых определяется вероятностями.

. (3.3)

Таким образом, закон распределения случайной величиныимеет вид:

где в соответствии с (3.3) вероятность получаетсясуммированием в -ой строкетаблицы (3.2) вероятностей,.

(3.4)

и поэтому закон распределения случайной величиныимеет вид:

где в соответствии с (3.4) вероятность получаетсясуммированием в -ом столбцетаблицы (3.2) вероятностей,.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Начнем с рассмотрения двумерного случайного вектора .

Определение. Случайный вектор, заданный на вероятностном пространстве, называетсянепрерывным(или имеющимнепрерывный закон распределения), если существует такая функция, двух действительных переменных, что для любой точкифункция распределенияслучайного векторадопускает представление:

. (3.5)

Функция при этом называетсяплотностью вероятностейслучайного вектораили двумерной плотностью вероятностей или совместной плотностью вероятностей случайных величини.

Из определения (3.5) следует:

1. Функция распределения непрерывного случайного вектора является непрерывной пои по(как двойной интеграл с переменными верхними пределами);

2. Функция распределения непрерывного случайного вектора является дифференцируемой пои пово всех точках, являющихся точками непрерывности двумерной плотности вероятностей, и при этом имеет место равенство:

(3.6)

Свойства двумерной плотности вероятностей

2f1). Двумерная плотность вероятностейявляется функцией неотрицательной:для любых.

2f2).-условие нормировки.

2f3). Вероятность попадания непрерывного случайного векторав любое борелевское множествоопределяется формулой:

.

2f4). Координаты непрерывного случайного векторас плотностью вероятностейявляются непрерывными случайными величинами, плотности вероятностей которых(маргинальные плотности вероятностей), выражаются черезпо формулам:

, (3.8)

в точках непрерывности функций и.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\