34. Характеристическая функция св и ее свойства.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Наряду с вещественными СВ приходится рассматривать и комплекснозначные СВ Всякая комплекснозначная с.в.может быть представлена в виде().,– вещественные с.в.,– вещественная, а– мнимая части с.в..

МО комплекснозначной с.в.: .определено когдаопределено определеныи.

Характеристическая функция вещественной с.в. , имеющей ФР, называется комплекснозначная функция, действительного переменного, определяемого:

Вычисляется в соответствии с теоремой о замене переменной по формуле:

– общий случай.

Дискретный случай:

Если – ДСВ,­– ее значения,, то.

Непрерывный случай:

Если – НСВ,– ее плотность, то, т.е.– прямая прямое преобразование Фурье от плотности.

Свойства хф.

,

Доказательство:

ХФ существует у любых с.в.

Доказательство:

– неотрицательно определенная функция, т.е.,

Доказательство:

Замечание. На самом деле верно более сильное утверждение, известное как теорема Бохнера-Хинчина:

Для того, чтобы непрерывная функция , удовлетворяющая условиюбыла ХФ, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определенной.

Если ,является абсолютно-интегрируемой, то для ее неотрицательной определенности необходимо и достаточно, чтобы преобразование Фурье:.

является равномерно непрерывной

Доказательство:

Если для можно выбратьтакое, что:, поэтому

.

Во втором интеграле :.

За счет выбора , значит можно сделать

, что и значит равномерную непрерывность функции.

:

Доказательство:

ХФ суммы независимых с.в. равна произведению ХФ слагаемых. Если с.в.– независимые, а, то

Доказательство:

Следует из свойств МО независимых с.в.

Если у с.в.существует момент-го порядка:, то ее ХФявляетсяраз непрерывно дифференцируемой и при этом. В частности,,,

Доказательство:

1) – НСВ:и

Формальное дифференцирование раз подает:

Законность дифференцирования под знаком интеграла следует из того, что

2) – ДСВ:и

Формальное дифференцирование раз подает:

Если существует момент-го порядка у с.в.:, то еев окрестности точкиразлагается в ряд Тейлора вида:

.

Формула обращения.

Если – ФР с.в., а– ее ХФ, то, гдеявляется непрерывной, справедлива формула:

.

Следствие 1:

Если – абсолютно интегрируемая:

, то с.в. – непрерывная и ее– обратное преобразование Фурье от.

,

Доказательство:

Докажем для НСВ: – абсолютный интеграл.

Так как – НСВ:. В силу абсолютной интегрируемостисуществует обратное преобразование Фурье:.

Проинтегрируем обе части по в пределах отдо:

Следствие 2.Абсолютно интегрируемая функция:, удовлетворяющая свойствами, является характеристической тогда и только тогда, когда ее преобразование Фурье всюду неотрицательно:для любого.

▲ В этом случае преобразование Фурье , где- плотность вероятностей некоторой непрерывной случайной величины, являющаяся функцией неотрицательной для любого■.

Замечание.Фактически утверждение следствия 2 позволяет проверять свойство неотрицательной определенности абсолютно интегрируемой функции. Если функция, удовлетворяющая свойствами, абсолютно интегрируемой не является, но допускает представление в виде ряда Фурье, то она является характеристической функцией (и, следовательно, обладает свойством неотрицательной определенности) дискретной случайной величины, принимающей значенияс вероятностями.

Следствие 3(теорема единственности).

Характеристическая функция случайной величиныоднозначно определяет ее функцию распределения.

▲ Следует из формулы обращения и того, что разностипри любыходнозначно определяют функцию распределения■.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\