12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

ОпрНСВ – случайная величина- определенная на вероятностном пространстве называется непрерывной, если ее функция распределения (*).

Функция называется плотностью распределения вероятностей (ПВ) НСВ.

Из определения НСВ напрямую вытекают свойства ФР НСВ:

1. - непрерывная. (следует из непрерывности интегрирования с переменным верхним пределом, при этом необязательно непрерывна).

2. В точках непрерывности ф-ция распределения является дифференцируемой и(**) (следует из свойства 1 и свойства интегрирования с переменным верхним пределом). В точках, где непрерывностинет ФР имеет излом.

Замечание: Представление (*) задает плотность вероятностей неоднозначно, поскольку изменение на любом множестве меры 0, не изменит этого представления. Поэтому говорят, что ФР НСВ является дифференцируемой почти всюду идля почти всех.

Из (**) и определения производной следует: .

Т.о. с физической точки зрения можно интерпретировать , как массу, приходящуюся на отрезок. Это оправдывает понятиекак плотности.

Несмотря на то, что (*) и (**) устанавливают взаимнооднозначное соответствие между ПВ и ФР, но ПВ является более наглядной вероятностной характеристикой НСВ. ПВ также называют законом распределения НСВ.

Свойства плотности вероятности:

1. (почти всюду) т.к. ФР неубывающая функция.

2. - условие нормировки.

3. .

Т.к. .

При НСВ т.к..

Свойства 1 и 2 полностью описывают класс ПВ (если удовлетворяет свойствам 1 и 2, то и НСВ, плотностью которой она является).

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

13. Важнейшие непрерывные св.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

1. Равномерная случайная величина.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения (равномерное распределение) на отрезке, если множество ее возможных значений, а плотность вероятностей постоянна на этом отрезке:

Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:

, то есть .

Таким образом, равномерно распределенная случайная величина имеет плотность вероятностей:

и для нее используется сокращенное обозначение: .

Найдем функцию распределения случайной величины .

Для этого рассмотрим три случая:

а) если , то;

б) если ,то;

в) если , то.

Окончательно имеем: и

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:

2. Показательная (экспоненциальная) случайная величина.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет показательный закон распределения (показательное, экспоненциальное распределение), если множество ее возможных значений, а плотность вероятностей имеет вид:

Число называется параметром показательного закона распределения, а для показательной случайной величины используется сокращенное обозначение:.

Проверим условие нормировки: при любом .

Найдем функцию распределения случайной величины .

Для этого рассмотрим два случая:

а) если , то;

в) если , то.

Окончательно имеем:

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:

3. Нормальная (гауссовская) случайная величина.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (нормальное, гауссовское распределение) с параметрами, если множество ее возможных значений, а плотность вероятностей имеет вид:

.

Сокращенное обозначение нормальной случайной величины:

.

Кривая плотности вероятностей имеет симметричный вид относительно прямой и имеет максимум в точке.

Проверим условие нормировки:

для любых значений параметров а и (при этом использовался известный в анализе факт, что- интеграл Пуассона).

5. Случайная величина, имеющая закон распределения Коши.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет закон распределения Коши, если множество ее возможных значений, а плотность вероятностей имеет вид:

.

Функция распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, имеет вид:

.

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, выглядят следующим образом:

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\