Характеристические функции случайных векторов

Характеристической функцией случайного вектора называется комплекснозначная функциявещественных переменных, определяемая для любогоравенством:

или в векторной форме ,

где означает скалярное произведение векторов.

Характеристическая функция случайного вектора обладает всеми свойствами (с очевидными изменениями в формулировках) одномерной характеристической функции. Но есть и дополнительные полезные свойства.

По характеристической функциислучайного вектораможно найти характеристическую функцию любой группы изего координат. Для этого следует положить аргументыпри.

Так, например, характеристическая функция «отрезка» случайного вектораравна,

а характеристическая функция любой координаты вектораравна

.

Если- характеристическая функция случайного вектора, то характеристическая функция суммы его координатравна,

то есть следует положить все .

Задача 1. Найти характеристическую функцию двумерного нормального случайного вектора.

Ответ: .

Задача 2. Найти характеристическую функцию суммы двумерного нормального случайного вектораи по ней определить закон распределения случайной величины.

Ответ: .

Задача 3. Найти характеристическую функцию многомерного нормального случайного вектора.

Ответ: .

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Сходимость распределений (слабая сходимость).

Это еще один способ характеристики близости СВ, основанный на понятии сходимости их ФР друг к другу.

Пусть заданы последовательность случайных величин , имеющих функции распределения, и случайная величинас функцией распределения. Было бы естественно считать, что, если случайная величина, то ее закон распределения сходится прик закону распределения случайной величины. Однако требовать при этом равномерную сходимость ФР величин,неразумно, т.к. она не будет иметь место, если ФР с.в.имеет хотя бы один разрыв. Поэтому сходимость ФР понимают в смысле следующего определения.

Опр. Пусть – последовательность с.в., имеющих ФР,– с.в. с ФР. Говорят, чтослабо сходится к ФР, еслив каждой точке, являющейся точкой непрерывности предельной ФРи пишут

Смысл слабой сходимости – это поточечная сходимость ФР в точках непрерывности предельной ФР.

При этом также говорят, что слабо (или по распределению) сходится к СВ:

Важно выделить следующий частный случай:

Лемма. Если предельная ФР является непрерывной, то(слабая сходимость) эквивалентна равномерной сходимости:.

Лемма. (Соотношение между слабой сходимостью и сходимостью по вероятности).

1) Из сходимости по вероятности следует слабая сходимость

2) Если предельное распределение является вырожденным, то слабая сходимость и сходимость по вероятности эквивалентны:

если , то

Доказательство:

1) Пусть – точка непрерывности. Докажем, что если, то

Оценим вероятности исверху и снизу:

Для :

Для :

.

Так как , то, т.е.

При

2)

имеет место для , являющихся точкой непрерывности предельной Р, т.е. для.

Докажем, что .

т.к. точки и– точки непрерывности. Т.е..

В отличие от сходимости по вероятности слабая сходимость не сохраняется при операциях сложения и умножения СВ. Это справедливо только когда одно из распределений является вырожденным.

Свойства:

1. Если ,, то

2. Если ,, то

Замечательный факт состоит в том, что слабую сходимость распределений можно полностью охарактеризовать с помощью ХФ.

Теорема непрерывности.

Пусть – последовательность ФР, а– последовательность соответствующих им ХФ.

Для слабой сходимости необходимо и достаточно, чтобы, где– ХФ, соответствующая ФР.

Смысл теоремы: она устанавливает, что соответствие между ФР и ХФ является не только взаимно однозначным, но и непрерывным в том слмысе, что пределу в классе ФР оносительно слабой сходимости соответствует предел в классе ХФ относительно поточечной сходимости.

Теорема непрерывности является основным средством доказательства теорем о слабой сходимости распределения на числовой прямой.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\