Методичка по медицинской статистике
.pdfОсновное достоинство средних величин их типичность - средняя сразу дает общую характеристику явления. В связи с этим можно выделить два основных требования для вычисления средних величин:
1)однородность совокупности;
2)достаточное число наблюдений.
Любое распределение случайной величины, не обязательно подчиняющееся определенному закону распределения вероятностей, характеризуется параметрами распределения: средняя величина (М), среднее квадратическое отклонение ( ), коэффициент вариации (Сv) и др.
Например, при изучении распределения 10 больных по срокам лечения, мы получим ряд числовых значений: 38, 13, 17,
20, 14, 18, 25, 32, 23, 25 - неупорядоченный ряд.
Рассчитать параметры распределения можно, пользуясь и таким рядом. Однако охарактеризовать ряд несколькими параметрами еще недостаточно, необходимо исследовать, есть ли в статистическом ряду какая-либо устойчивая закономерность. Но, пользуясь неупорядоченным рядом, возможную закономерность обнаружить сложно, поэтому строят ранжированные ряды.
Ряд, в котором дается распределение единиц изучаемой совокупности по значениям варьирующего признака, называется вариационным.
Другими словами - вариационный ряд – ряд однородных
величин, расположенных в возрастающем или убывающем порядке, где варианты (группы вариант) отличаются друг от друга на определенную величину, называемую интервалом (i).
Таким образом, ряд распределения больных по срокам лечения можно представить следующим образом:
V (дни) |
13 |
14 |
17 |
18 |
20 |
22 |
23 |
25 |
32 |
38 |
р |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Варианты – отдельные количественные выражения признака. Обозначаются латинской буквой V. Классическое понимание термина «варианта» предполагает, что вариантой называется каждое уникальное значение признака, без учета количества повторов.
41
Частота – число, показывающее, сколько раз повторяется варианта. Обозначается латинской буквой p. Сумма всех частот (которая, разумеется, равна числу всех исследуемых)
обозначается как n. Например, в вариационном ряду показателей систолического артериального давления, измеренного у 10
человек, - 110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170 -
вариантами являются только 6 значений: 110, 120, 130
Вариационный ряд служит для описания больших массивов чисел, именно в этой форме изначально представляются собранные данные большинства медицинских исследований.
Существуют три формы вариационных рядов:
В зависимости от изучаемого
явления
В зависимости от числа
наблюдений
дискретные (прерывные) – образуются на основе прерывно меняющихся признаков, значения которых выражаются только в целых числах (частота пульса, количество студентов в группе и т.д.)
интервальные (непрерывные) – образуются обычно на основе признаков, которые могут принимать любые значения и выражаются любым числом (рост, вес и т.д.)
простые – варианта представлена одним числовым значением
сгруппированные – варианты группируются по определенному признаку. Например, при изучении физического развития может производиться группировка по весу: 40-44
кг; 45-49 кг. и т.д.
|
В зависимости |
|
|
возрастающие – варианты располагаются в |
|
от порядка |
|
|
порядке возрастания |
|
расположения |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
убывающие – варианты располагаются в |
|
|
вариант |
|
|
|
|
|
|
порядке убывания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отдельный вариационный ряд может одновременно включать в себя несколько характеристик. Например, простой, убывающий, прерывный; или – сгруппированный, возрастающий, непрерывный.
Виды средних величин, которые обычно используются в медицинской статистике, - это медиана, мода, средняя арифметическая. Другие виды средних: средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя кубическая, средняя
42
геометрическая и другие - применяются лишь в специальных исследованиях.
Медиана (Me) - это серединная, центральная варианта, делящая вариационный ряд пополам на две равные части.
Например, если число наблюдений составляет 33, медианой будет варианта, занимающая 17-е ранговое место, так как в обе стороны от нее находится по 16 наблюдений.
Если ряд представлен четным числом наблюдений, в центре находятся две величины. В случае, когда они одинаковы по своему значению, не возникает затруднений в приближенном определении медианы, если же числовые значения двух величин различны, то за медиану принимается их полусумма.
Медиана применяется в медицинской статистике относительно редко. С помощью медианы определяется, например, так называемая вероятная продолжительность предстоящей жизни в таблицах смертности. Медиана используется также при вычислении среднего радиуса удаленности отдельных населенных пунктов от сельского врачебного участка (когда учитывается не только расстояние, но и число жителей).
Мода (Мо) – это чаще всего встречающаяся, или, наиболее часто повторяющаяся величина признака. При приближенном нахождении моды в простом (не сгруппированном) ряде, она определяется, как варианта с наибольшим количеством частот.
В медицинской статистике применение моды довольно ограничено. Модой можно пользоваться при оценке средней длительности заболеваний, особенно при малом количестве больных. В этом случае несколько больных, с особо длительными или очень короткими сроками, окажут значительное влияние на величину средней арифметической, если воспользоваться ею для определения средней длительности заболевания. Поэтому мода (т.е. обычная длительность заболевания) окажется более полезной для практического использования.
Чаще всего используется в медицинской статистике
средняя арифметическая величина (М). Среднее арифметическое значение - это самый известный статистический показатель. Под средней арифметической понимается такое среднее значение признака, при замене которым индивидуальных значений признака, суммарный объем признака по совокупности
43
в целом сохраняется неизменным, т.е. средняя арифметическая есть среднее слагаемое (см. рисунок: мода, медиана и средняя арифметическая на графике).
Отличие медианы и моды от средней арифметической заключается в том, что при упрощенном, ориентировочном определении эти величины легко и быстро найти по их положению в вариационном ряду (позиционные средние), кроме того, они не зависят от значений крайних вариант или от степени рассеяния ряда.
Средняя арифметическая может быть простая и взвешенная.
Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее слагаемое, при определении кᴏᴛᴏᴩого общий объем данного признака в совокупности данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную совокупность. Примером средней арифметической простой
может служить результат измерения веса, например, 6 студентов:
V (кг) |
45 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
= 385 |
р |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
р = n = 6 |
Расчет производится по формуле:
М = V / n
Сумма этих измерений, деленная на число наблюдений, и дает среднюю величину веса:
М = 385 / 6 = 50,8 кг.
Таким образом, средняя арифметическая простая получается, как сумма величин (вариант), деленная на их число.
44
Среднюю арифметическую простую можно вычислить лишь в тех случаях, когда каждая величина (варианта) представлена единичным наблюдением, т.е. когда частоты (р) равны единице.
Если частоты вариант больше единицы (т.е. варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.), простая средняя неприменима - здесь надо вычислять среднюю арифметическую взвешенную, которая получается, как сумма произведений вариант на соответствующие частоты, деленная на общее число наблюдений:
М = V · p / n
Например: частота пульса (число ударов в минуту) у 18 студентов после проведения атропиновой пробы составила: 86,
92, 100, 96, 90, 102, 88, 92, 80, 92, 96, 100, 86, 84, 102, 90, 86, 92.
V (уд/мин) |
80 |
84 |
86 |
88 |
90 |
92 |
96 |
100 |
102 |
|
р |
1 |
1 |
3 |
1 |
2 |
4 |
2 |
2 |
2 |
р = n = 18 |
Vp |
80 |
84 |
258 |
88 |
180 |
358 |
192 |
100 |
204 |
Vp = 1644 |
М = 1644/ 18 = 91,3 уд/мин.
Средняя арифметическая простая - это частный случай средней арифметической взвешенной, поэтому формула средней арифметической взвешенной может использоваться и для расчета средней арифметической простой. В последнем случае частоты равны единице и умножение излишне.
Все три средние величины (Мо, Ме, М) совпадают (либо практически очень близки) в симметричном вариационном ряду: средняя арифметическая соответствует середине ряда (в симметричном ряду отклонения в сторону увеличения и в сторону уменьшения вариант соответственно уравновешиваются); медиана (как центральная величина) также соответствует середине ряда; мода (как наиболее насыщенная величина) приходится на наивысшую точку ряда, также находящуюся в его центре. Поэтому для всех симметричных рядов нет необходимости вычислять другие средние величины, кроме средней арифметической.
Средняя арифметическая величина обладает определенными свойствами. Рассмотрим каждое из свойств средней арифметической величины.
45
1.Средняя арифметическая величина занимает серединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду: М = Мо = Ме.
2.Средняя арифметическая величина имеет
абстрактный характер и является обобщающей величиной.
То есть - за средней не видны случайные колебания, различия в индивидуальных данных, она вскрывает то типичное, что характерно для всей совокупности. К средней обращаются всякий раз, когда надо исключить случайное влияние отдельных факторов, выявить общие черты, существующие закономерности, получить полное и глубокое представление о наиболее общих и характерных особенностях всей группы.
3.Сумма отклонений всех вариант от средней арифметической величины равна нулю: Σ (V - М) = 0. Это происходит потому, что средняя величина превышает размеры одних вариант и меньше размеров других вариант. Иначе говоря, истинное отклонение вариант от истинной средней (d = V - М) может быть положительной и отрицательной величиной, поэтому сумма (Σ) всех +d и -d равна нулю.
4.Если к каждой варианте вариационного ряда прибавить или отнять одно и то же число, то на столько же увеличится или уменьшится средняя арифметическая величина.
5.Если каждую варианту разделить или умножить на одно и то же число, то во столько же раз уменьшится или увеличится средняя арифметическая.
Два последних свойства используют в тех случаях, когда варианты представлены очень малыми или, наоборот, большими числами.
На рисунке схематично представлены виды и три основных свойства средней арифметической величины.
|
|
Средняя арифметическая (М) |
||
Виды средней |
Простая |
Взвешенная |
||
арифметической |
М = ∑V/n |
М = ∑V ·p /n |
||
Свойства средней |
Занимает серединное |
Сумма отклонений |
||
|
положение в |
вариант от средней |
||
арифметической |
|
|||
вариационном ряду |
величины равна нулю |
|||
|
||||
|
|
46 |
|
|
Имеет абстрактный характер
Средние арифметические величины, взятые сами по себе, без дополнительных приемов оценки, часто имеют ограниченное значение, так как они не отражают степени рассеяния (разнообразия) ряда. Одинаковые по размеру средние величины могут быть получены из рядов с различной степенью рассеяния. Средние - это величины, вокруг которых рассеяны различные варианты, и чем ближе друг к другу отдельные варианты, чем
меньше рассеяние ряда, тем типичнее средняя величина.
В исследованиях, изучая тот или иной признак, часто приходится сталкиваться с совокупностями с различными значениями (наряду с одинаковыми) этого признака. Такую переменчивость значений называют варьированием. Например, варьирование мы наблюдаем, изучая успешность студентов по предмету общественное здоровье и здравоохранение.
Имеются разные модификации вычисления параметров разнообразия вариационного ряда. Их выбор зависит от самого вариационного ряда и технических средств. Приближенным методом оценки разнообразия ряда может служить определение амплитуды - разности между наибольшим и наименьшим значением вариант:
А = V max – V min
Основной мерой оценки разнообразия ряда является
стандартное отклонение, которое в статистике чаще называют средним квадратическим отклонением ( ).
Если отсутствуют необходимые исходные данные для вычисления среднего квадратического отклонения обычным путем, может быть использован приближенный способ вычисления по амплитуде (вариационному размаху) вариационного ряда:
= ± А/К
Где К - специальный коэффициент, предложенный С.И. Ермолаевым, для различного числа наблюдений (табл. 2.2.1). В
этой специальной вспомогательной |
таблице |
числа n в |
первом |
вертикальном столбце означают |
десятки, |
а в |
первой |
47 |
|
|
|
горизонтальной строке – единицы наблюдений. Например, для числа наблюдений 87 (n=87) k =4,91, а для n = 18 k = 3,64.
Среднее квадратическое отклонение, исчисляемое по амплитуде, несколько отличается по величине от σ, вычисленной обычными способами. Различие это тем больше, чем больше число наблюдений. Поэтому определение среднего квадратического отклонения по амплитуде более целесообразно производить при ориентировочных расчетах.
Таблица 2.2.1
Коэффициент (К) для вычисления среднего квадратического отклонения по амплитуде вариационного ряда (таблица С.И.Ермолаева)
Число |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
наблюдений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
- |
- |
1,13 |
1,69 |
2,06 |
2,33 |
2,53 |
2,40 |
2,85 |
2,97 |
10 |
3,08 |
3,17 |
3,26 |
3,34 |
3,41 |
3,47 |
3,53 |
3,59 |
3,64 |
3,69 |
20 |
3,73 |
3,78 |
3,82 |
3,86 |
3,90 |
3,93 |
3,96 |
4,00 |
4,03 |
4,06 |
30 |
4,09 |
4,11 |
4,14 |
4,16 |
4,19 |
4,21 |
4,24 |
4,26 |
4,28 |
4,30 |
40 |
4,32 |
4,34 |
4,36 |
4,38 |
4,40 |
4,42 |
4,43 |
4,45 |
4,47 |
4,48 |
50 |
4,50 |
4,51 |
4,53 |
4,54 |
4,56 |
4,57 |
4,59 |
4,60 |
4,61 |
4,63 |
60 |
4,64 |
4,65 |
4,66 |
4,68 |
4,69 |
4,70 |
4,71 |
4,72 |
4,73 |
4,74 |
70 |
4,75 |
4,77 |
4,48 |
4,79 |
4,80 |
4,81 |
4,82 |
4,83 |
4,83 |
4,84 |
80 |
4,85 |
4,86 |
4,87 |
4,88 |
4,89 |
4,90 |
4,91 |
4,91 |
4,92 |
4,93 |
90 |
4,94 |
4,95 |
4,96 |
4,96 |
4,97 |
4,98 |
4,99 |
4,99 |
5,00 |
5,01 |
n |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
900 |
1000 |
К |
5,02 |
5,48 |
5,76 |
5,94 |
6,07 |
6,18 |
6,28 |
6,35 |
6,42 |
6,48 |
Вычисление точного значения среднего квадратического отклонения производится по формуле:
= ± 
d 2р / n
Если число наблюдений меньше 30 (малая выборка), то расчет производится по формуле:
= ± 
d 2р / n-1
Для вычисления сигмы необходимо:
1)определить отклонения (d) от средней (V – M);
2)возвести отклонения в квадрат (d 2);
3)перемножить квадраты отклонений на частоты (d 2р);
48
4)суммировать произведения квадратов отклонений на ча-
стоты;
5)разделить эту сумму на число наблюдений;
6)извлечь из частного квадратный корень.
При помощи сигмы можно установить степень типичности средней, пределы рассеяния ряда, пределы колебаний вокруг средней отдельных вариант. Чем меньше сигма, тем меньше рассеяние ряда, тем точнее и типичнее получается вычисленная для этого ряда средняя величина.
Значение среднего квадратического отклонения
|
|
|
|
|
|
Средняя |
арифметическая |
|
|
|
|
характеризует |
одной |
|
Ряд с |
большей |
|
величиной |
|
весь |
|
амплитудой имеет |
|
вариационный |
ряд. |
|
большее |
среднее |
|
Однако, |
чем |
больше |
|
||
|
квадратическое |
||||
варьирует индивидуальные |
|
||||
|
отклонение |
||||
значения |
вариант, тем, |
|
|||
|
(амплитуда |
||||
очевидно, |
менее |
точно |
|
||
|
приближенно |
||||
характеризуется |
|
|
|||
|
|
равна 6 σ). |
|||
вариационный ряд средней |
|
||||
|
|
|
|||
арифметической. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, две одинаковые средние, полученные из вариационных рядов с различной амплитудой, не в одинаковой степени характеризуют свои ряды. Та из них, которая имеет меньшую σ и, следовательно, получена из вариационного ряда с меньшей вариабельностью, своим размером будет больше приближаться к действительной величине значительного большинства единиц ряда
Применение сигмы дает возможность оценки и сравнения разнообразия нескольких однородных рядов распределения, так как - величина именная, выражается абсолютным числом в единицах изучаемой совокупности (см, кг, мг/л и т.д.). В этом случае принимаются во внимание абсолютные размеры сигмы. Например, при сравнении двух рядов распределения по признаку веса, при условии, что средние будут близки по уровню, но сигма в одном ряду будет ± 5,6 кг., а в другом ± 2,1 кг. - второй ряд менее рассеян, и его средняя более типична.
При оценке разнообразия неоднородных рядов (например, таких признаков как вес и рост), непосредственное сравнение размеров сигмы невозможно. В этом случае, для установления степени относительного разнообразия рядов, прибегают к производной величине - коэффициенту изменчивости
(вариации) - показателю изменчивости относительно средней величины, обозначаемому буквой Сv (V). Коэффициент
49
изменчивости получается из процентного отношения сигмы к средней величине:
Cv = / М · 100%
Вариация - это несовпадение значений одной и той же статистической величины у разных объектов в силу особенностей их собственного развития, а также различия условий, в которых они находятся. Вариация имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления. Если средняя величина сглаживает индивидуальные различия, то вариация, наоборот, их подчеркивает, устанавливая типичность или не типичность найденной средней величины для конкретной статистической совокупности. То есть, можно делать вывод о качественности подобранных статистических данных.
Например, при изучении физического развития студентов – мужчин 1 курса получены следующие показатели: М (вес) = 67,5 кг.; М (рост) = 178,1 см. Соответственно = ± 2,8 кг. и ± 6,2 см. Среднее квадратическое отклонение по росту более чем в 2 раза превышает сигму по весу. Коэффициент вариации Cv равен:
Cv (по весу) = 2,8 кг / 67,5 кг · 100% = 4,1%
Cv (по росту) = 6,2 см / 178,1 см · 100% = 3,5%
Коэффициент вариации по росту меньше, чем по весу, то есть рост оказался более устойчивым признаком, чем вес.
Чем больше значение коэффициента вариации, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Различают три степени разнообразия коэффициентов вариации:
до 10% слабое разнообразие 10 – 20% среднее разнообразие более 20% сильное разнообразие
Таким образом, если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности совокупности и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.
50